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Vous êtes ici : Accueil > Formation > Tutoriels > Introduction à l'automatique > Systèmes bouclés par contrôleur PID   Révision : 04 Juin 2007
 
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Denis Curtil
(Juin 2007)

III - Systèmes bouclés par contrôleur PID

Après avoir identifié le modèle de comportement du procédé, il faut boucler le système à l’aide d’un correcteur qu’il faut régler [Cf. Figure 4]. Le schéma de la Figure 9 ci-dessous est utilisé pour tous les calculs. Il diffère simplement de la Figure 4 par l’absence de l’entrée commande opérateur. En effet, étant constante, cette entrée n’apporte aucune information. En la supprimant, le point de fonctionnement est ramené à zéro et toutes les variations des signaux d’entrée autour de zéro.

Fonctions de transfert en boucle fermée
Figure 9  - Fonctions de transfert en boucle fermée

Le correcteur C(p) est dans la plupart des cas le régulateur PID dans sa forme mixte avec pour fonction de transfert

L’idée de base de ce régulateur est de générer une commande u qui soit :

La Figure 10 ci-dessous illustre l’ensemble de ces mécanismes.

Actions PID
Figure 10  - Actions PID

Sur cette figure, peut être distingué l’effet de la partie filtrage de la dérivée par le biais du paramètre N. Il fixe la valeur à laquelle monte la correction dérivée lors de l’apparition de l’échelon (application directe du théorème de la valeur initiale de la transformée de Laplace …). En effet, une action dérivée pure conduit à une action infinie lors d’une transition de type échelon, ce qui est peu compatible avec les réalités physiques de terrain.

Avant de présenter le tableau de réglage qui permet de régler directement les paramètres K, Ti, Td de ce correcteur, prenons le cas particulier où :

En revenant sur la Figure 9, le produit

Si le régulateur est réglé pour que Ti = t, il y a simplification du transfert précédent qui devient

Ainsi, en utilisant les transferts en régulation et en asservissement donnés dans la Figure 9, il vient après mise sous forme canonique :

  avec  

En observant ces deux fonctions de transfert et en utilisant les diagrammes de BODE (p=jw), il est possible de conclure rapidement sur le bénéfice du passage boucle ouverte (BO) à boucle fermée (BF).

De nombreux systèmes ressemblent à la boucle ouverte décrite ci-dessus. Même si l’ordre peut être plus élevé, il y a souvent une constante de temps dite dominante. Le mode de réglage des régulateurs PID est basé sur la compensation de cette constante de temps par celle du contrôleur. Autrement dit, le pôle dominant de la fonction de transfert du procédé est compensé par le zéro du régulateur (t = Ti).

La Figure 11 ci-dessous présente le réglage des paramètres du PID en fonction de la réponse boucle ouverte du procédé.
On accède ainsi aux valeurs de K, Ti, Td en fonction du coefficient de réglabilité r = d/t, avec :

Tableau de réglage d’un contrôleur PID
Figure 11  - Tableau de réglage d’un contrôleur PID

En général, un procédé ne réagit pas immédiatement après l’application de la commande en entrée. Ce retard a plusieurs causes qui peuvent être internes au procédé, mais aussi propres à sa structure.
L’exemple structurel bien connu sur la machine à papier (MAP) concerne la régulation de grammage. Dans ce cas, l’actionneur est  la vanne de grammage : elle est disposée dans le circuit de tête de la MAP, alors que la mesure de grammage est faite en sortie de machine. Un changement sur la commande en entrée n’est donc perçu qu’après un délai (temps de transport) à travers toute la machine. Le délai est ici très supérieur à la constante de temps du procédé (sur la ligne « au-delà » de la Figure 11).
Plus r est grand et plus les performances du système en BF classique sont modestes.
Notons au passage que le tableau de la Figure 11 donne des valeurs de base pour le régulateur PID.
L’automaticien prudent prend toujours une marge par rapport au strict calcul. Il applique des réglages plus "mous" afin de préserver le procédé et de compenser d’éventuelles erreurs de modélisation, puis il réajuste ces réglages en vérifiant l’allure de la réponse du système. Cela permet d'éviter de trop grands dépassements.
Dans le tableau de la Figure 11, le terme "impossible à régler" signifie qu’il est impossible non pas d’utiliser un PID mais d'arriver aux mêmes performances dynamiques que la BO. Il peut évidemment être utilisé pour garantir la fonction régulation même si, dans ce cas, les performances sont mauvaises.

L'exemple présenté dans la Figure 11 est une réponse de type "apériodique" c'est-à-dire qu’il n’y a pas d’oscillations autour de la valeur finale : c’est le cas le plus fréquent. Il est évidemment possible de traiter les cas avec dépassements.

Détermination graphique pour un système du 2nd ordre peu amorti
Figure 12  - Détermination graphique pour un système du 2nd ordre peu amorti

Quelques notions présentées ci-dessous permettent d’expliquer pourquoi les régulateurs PID sont aussi employés.

En premier lieu, en se référant à la Figure 10, les paramètres de réglages sont peu nombreux et leur rôle peut être expliqué intuitivement :

En deuxième lieu, il faut signaler qu’il n’est pas toujours possible d’obtenir un modèle du procédé pour plusieurs raisons :

Dans tous les cas, il est possible d'appliquer une procédure de réglage en ligne du PID indiquée ci-dessous. C’est une procédure itérative de type essai erreur :

Enfin, l’utilisation de régulateurs PID conduit à un comportement dit robuste. Cela signifie que le comportement reste satisfaisant même si des erreurs sont faites sur le modèle du procédé, ou encore que le procédé évolue en cours de fonctionnement pour diverses raisons (non linéarités, vieillissement…).

     
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Mise en page : A. Pandolfi