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Vous êtes ici : Accueil > La technique > Consommables et papier > La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier > L’écoulement des fluides dans les milieux poreux > L’irrotationalité de l’écoulement au niveau macroscopique   Révision : 13 janvier 2016
 
  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

IV - L’écoulement des fluides dans les milieux poreux

IV-4 - L’irrotationalité de l’écoulement au niveau macroscopique

Les conséquences de la stationnarité de la longueur des courbes ellipsoïdo-cylindriques et de leurs propriétés de symétrie sont importantes à la fois du point de vue théorique et pratique. Dans le cas de l’écoulement permanent et conservatif d’un fluide incompressible, ces courbes peuvent être considérées comme modélisant d’un point de vue virtuel la reconstitution les lignes de courant probabilistes du fluide dans la texture au niveau macroscopique. Ces courbes tapissent la totalité des interfaces des pores mouillées par le fluide et sont discrétisées suivant la moindre action au cours de l’écoulement44.

[44] Les paramètres descripteurs du groupe des cylindres elliptiques sont dans un repère d’axes orthonormés : la direction de l’axe neutre de symétrie du groupe qui est la direction des axes de translation et de rotation du mouvement des particules fluides, la longueur de la génératrice des cylindres, l’orientation et la longueur de chacun des axes principaux de l’ellipse directrice des cylindres. Ces paramètres peuvent être définis de manière équivalente en fonction des ellipticités et de l’aire S de la surface du pore équivalent de la texture poreuse.
La courbe ainsi définie par les équations (4) synthétise, par un stick déformable, l’espace embrassé par les particules du fluide en écoulement à travers la texture d’un ensemble poreux désordonné aléatoire, d’un point de vue global et dans des conditions d’équilibre dynamique.
 

Les points communs aux courbes sont les points ombilics antipodaux de l’ellipsoïde et représentent l’entrée et la sortie du fluide dans la texture poreuse modélisée. La durée du trajet du fluide est fonction du diamètre de l’ellipsoïde entre ces points. La longueur du trajet et la durée étant les mêmes pour les différentes lignes de courant, la vitesse moyenne l’est également, réalisant ainsi l’équilibre dynamique du fluide en écoulement. L’action suivant les différentes lignes de courant étant la même sa valeur est stationnaire, minimale conformément aux hypothèses.

Le mouvement du fluide s’effectuant avec des rotations inversées dans chacune des lignes de courant appariées en doublet, la rotation de la vitesse moyenne du fluide est nulle d’un point de vue global. L’écoulement étant permanent et conservatif et le fluide incompressible, la divergence de la vitesse moyenne est nulle. Ainsi, à rotationel nul, la vitesse moyenne du fluide est négativement proportionnelle au gradient du potentiel qui est la pression motrice exercée sur le fluide.

L’ensemble des courbes ellipsoïdo-cylindriques constitue ainsi sur la surface du pore équivalent un faisceau divergeant et convergeant radialement aux points ombilics qui représentent dans cette modélisation les points source du fluide à son entrée et de drainage à sa sortie. Le faisceau des trajectoires, qui sont les lignes de courant du fluide, coupe les cercles centrés sur le diamètre des ombilics de l’ellipsoïde, chacun des cercles étant dans un plan équipotentiel perpendiculaire à la normale aux points ombilics [Figure 34].

                Réalisation d’un ellipsoïde par une tapisserie de courbes ellipsoïdo-cylindriques      
  Figure 34 - Réalisation d’un ellipsoïde par une tapisserie
de courbes ellipsoïdo-cylindriques (équations (4))
 
     

La vitesse de déplacement du fluide suivant les trajectoires se décompose en une composante normale aux plans équipotentiels et une composante de rotation dans ces plans ainsi qu’à des composantes dues à la déformation de l’élément de volume. La direction du mouvement de pénétration du fluide dans la texture est celle de la normale aux points ombilics. La direction de la résultante des mouvements du fluide est la direction du diamètre des points ombilics, images des points d’entrée et de sortie du fluide dans le milieu poreux modélisé.
Cette analyse du mouvement d’un fluide est en accord avec les propriétés des écoulements à travers une texture poreuse et qui satisfont à la loi de Darcy45.

[45] Les écoulements des fluides visqueux suivant la loi de Darcy et dans une cellule de Helé-Shaw sont analysés dans les ouvrages de mécanique des fluides. [Cf. E. Guyon, J.P. Hulin, L. Petit, "Hydrodynamique physique", Inter-Editions/Editions du CNRS, 7.3, pp.379-384 ; R. Comolet, "Mécanique expérimentale des fluides", Tome II, pp.98-102, Masson, 1976].

Dans le cas de l’écoulement permanent et conservatif d’un fluide incompressible, suivant la loi de Darcy et selon Hele-Shaw, la vitesse moyenne de débit est proportionnelle négativement au gradient du potentiel de pression. Le rotationnel de la vitesse est nul dans ces conditions. La divergence de la vitesse étant nulle, le Laplacien du potentiel est nul et vérifie une fonction harmonique. Ces propriétés de l’écoulement sont établies d’un point de vue global pour la vitesse moyennée, la texture du milieu poreux étant estimée homogène par hypothèse.

À l’échelle microscopique, la rotation de l’élément de volume du fluide nécessite une dépense d’énergie cinétique minimisée dans les conditions où l’écoulement s’effectue en régime laminaire. Cependant, lorsque le nombre de Reynolds de l’écoulement dans les pores est supérieur à 1, la dépense d’énergie devient non négligeable et elle apparaît pour une part significative dans la perte de charge. Le formalisme des lois de l’écoulement dans ces conditions a fait l’objet de nombreuses études [Cf. P.C. Carman, "Some physical aspects of water flow in porous media", Discussions of the Faraday Society, n°3, 1948, pp.72-77 ; S. Irmay, "On the theoretical derivations of Darcy and Forcheimer formulas", Transactions, American Geophysical, Union, Vol.39, n°4, August 1958, pp.702-706 ; R. Ben Aim, "Les écoulements des fluides à travers les milieux poreux : lois générales", Centre de perfectionnement des industries chimiques, 1980, Nancy, France. C.C. Mei et J.L. Aurillaut, "The effect of weak inertia on flow through a porous media", J. Fluid Mech. Vol.222, pp.647-663, 1991 ; A. Houpeurt, "Évolution des concepts en mécanique des fluides dans les milieux poreux", Revue de l’institut Français du Pétrole, nov.1992, pp.1293-1301. J. Comiti, Nour-Eddine Sabiri, "Limit of Darcy’s law validity in packed beds", E.G.G.E-1, Florence, Italy, May 4-7, 1997, pp.1863-1866 ; R. Salvado, "Relationship between spundbond process, Structure and properties of nonwovens for hygiene applications", Doctoral Thesis, 2002 (UBI) et (UHA), Chap.3, Fluid permeability, pp.53-67. ; R. Salvado, J. Silvy, et J.Y. Drean,"Fluid flow in spunbonded nonwovens", Fiber Society, Spring Conference, May, 2005, St Galle, Switzerland].
 

Les courbes ellipsoïdo-cylindriques, qui modélisent les lignes de courant du fluide dans la texture, sont homotopes au mieux sur la surface du pore équivalent. Ainsi, l’écoulement peut être considéré comme laminaire, avec une faible valeur du nombre de Reynolds compte tenu de la petite valeur du rayon hydraulique moyen, due à la grande extension de la surface spécifique du milieu poreux.

Pour une viscosité donnée, la vitesse moyenne de débit du fluide est négativement proportionnelle au gradient de la pression motrice. Le cœfficient de proportionnalité est le facteur de perméabilité K dont la dimension est celle du carré d’une longueur46.

[46] La terminologie préconisée dans la normalisation de l’ISO pour les propriétés d’écoulement des fluides dans les papiers est la perméance qui associe le facteur de perméabilité K à l’épaisseur du milieu filtrant.
 

Ce facteur K dépend de la porosité de la texture, du carré de la taille des pores égale au rayon hydraulique moyen, de la forme des pores caractérisée par un coefficient ko = 2χχ est le facteur de circularité des pores, ainsi que du facteur de tortuosité t posé égal au rapport du trajet effectif du fluide à travers la texture poreuse à son trajet apparent évalué entre l’entrée et la sortie du milieu poreux. Différentes évaluations du facteur de tortuosité ont été proposées. Carman et Kozeny, par exemple, regroupent les deux termes t et ko en un paramètre unique k = ko.t² dont la valeur expérimentale est en moyenne égale à 4,5 ± 1.

Dans la modélisation de l’écoulement suivant le concept du pore équivalent, le facteur de tortuosité t comprend deux termes : l’un, intrinsèque à la texture poreuse, est uniquement fonction des caractéristiques géométriques du pore équivalent définies par ses ellipticités ; l’autre, également fonction de la configuration du pore équivalent, fait intervenir son orientation par rapport aux axes principaux de la texture. Ce deuxième terme est à l’origine des variations du facteur de tortuosité t et donc de la perméabilité K suivant la direction de l’évaluation de la perte de charge entre l’entrée et la sortie du fluide dans la texture poreuse.

La valeur théorique du paramètre k= kot² calculée suivant la modélisation du pore équivalent peut être considérée en moyenne égale à 5,5, la circularité χ des pores étant choisie égale à 1. Cette valeur du paramètre k calculée pour différentes anisotropies et pour différentes directions de l’évaluation de la perte de charge, estimées représentatives des cas probables rencontrés dans la pratique, est en bon accord avec la valeur expérimentale du paramètre k de Kozeny-Carman47, qui est en moyenne égale à 4,5 ± 1.

[47] Les milieux poreux qui font l’objet de ces études correspondent à une valeur de la constante k qui est en moyenne égale à 4,5 +/- 1. L’échantillonnage de ces milieux peut être considéré comme aléatoire étant donné que ni la structure des milieux poreux, ni la direction de la perte de charge évaluée dans l’écoulement du fluide à travers leur texture ne sont explicitées par rapport à un référentiel commun à ces différentes recherches.
 

La modélisation de l’écoulement d’un fluide dans les milieux poreux désordonnés aléatoires, effectuée suivant le concept du pore équivalent, est ainsi validée par les mesures expérimentales de la perméabilité aux fluides.

L’intérêt de cette modélisation est de chercher à relier les phénomènes de transfert des fluides dans les milieux poreux, aux caractéristiques de leur texture, un aspect important à la fois du point de vue théorique et pratique. La différenciation des composantes du mouvement du fluide suivant son déplacement par pénétration et rotation, et sa déformation par compression et dilatation dans la texture poreuse est importante pour la prévision du drainage des liquides dans les sols et l’extraction des fluides stockés dans les roches magasins. D’autres cas où cette différenciation est importante sont, par exemple, l’optimisation des propriétés barrière des matériaux poreux vis-à-vis des fluides liquides ou gazeux ainsi que les propriétés d’impression des papiers et des cartons dans le but de limiter le transpercement des encres au verso de la feuille et leur bavure à la surface au recto. Les Figures 35 & 36 sont relatives à un bon et à un mauvais papiers destinés à l’impression. Le bon papier se différencie principalement du mauvais papier par le taux de cisaillement transversal du fluide dans la texture qui est moindre et par une pénétration dans la feuille légèrement supérieure.

                Papier bon pour l’impression       Papier mauvais pour l’impression  
  Figure 35 - Un papier bon pour l’impression.
La pénétration de l’encre dans la feuille
est satisfaisante, la tortuosité tz=3,4
  Figure 36 - Un papier mauvais pour l’impression.
L’encre a tendance à baver en s’étalant
à la surface de la feuille, la tortuosité tz=3,9
 
         

Dans le cadre de l'Union Européenne, une recherche a été effectuée en concertation par les constructeurs de machines à papier, les fabricants de feutres, les papetiers et des laboratoires de recherche européens, dans le but d’améliorer le processus d’élimination de l’eau de la feuille sur la machine à papier. L’élimination de l’eau, après la formation de la feuille sur la table de fabrication, s’effectue dans des presses cylindriques pleines ou aspirantes en contact avec des feutres absorbants qui transportent la feuille dans la zone de pincement entre les cylindres. Cette opération a une influence sur la texture de la feuille tant à sa surface qu’à son intérieur. La nature du revêtement des presses, la forme de l’impulsion de pression, la nature des fibres qui entrent dans la composition des feutres, la texture superficielle et interne de ces milieux poreux, doivent être adaptées à la sorte de papier fabriqué, d’où l’intérêt de modéliser l’opération du pressage afin de prévoir l’évolution de la perméabilité de la feuille et des feutres dans la zone de pincement dans le but d’économiser l’énergie au pressage. Un aspect important de cette opération est de limiter le remouillage partiel de la feuille pendant la décompression des différentes structures poreuses à la sortie de la zone de pincement. La caractérisation de la structure de la feuille et de celle des feutres ainsi que leur évolution en compression et en décompression ont été effectuées dans cette étude suivant le concept du pore équivalent pour modéliser leur texture.

Ces recherches ont permis une meilleure compréhension des phénomènes d’élimination de l’eau par le pressage de la feuille. Des améliorations du procédé ont été réalisées entraînant une diminution notable de la consommation d’énergie pour la fabrication du papier.

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