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  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

IV - L’écoulement des fluides dans les milieux poreux

IV-3 - Les trajectoires ellipsoïdo-cylindriques: formalisme et propriétés

L’intersection de l’ellipsoïde et de chacun des cylindres elliptiques du groupe est une courbe cyclique, ellipsoïdo-cylindrique42, une boucle en forme de huit avec un point double situé au point de tangence des deux surfaces [Figures 31 & 32].

                Intersection d’un ellipsoïde triaxes et d’un cylindre elliptique tangent       Courbe ellipsoïdo-cylindrique  
  Figure 31 - Intersection d’un ellipsoïde triaxes
et d’un cylindre elliptique tangent, avec une
génératrice du cylindre diamètre des ombilics
  Figure 32 - Courbe ellipsoïdo-cylindrique (gris)
avec la représentation des normales aux ombilics
(jaune) et de l’intersection circulaire de l’ellipsoïde
dans un plan diamétral (rouge)
 
         
[42] À la fois cyclo-ellipsoïdale et cyclo-cylindrique, la courbe définie par les équations (4) est l’intersection de deux surfaces quadratiques. Cette courbe ellipsoïdo-cylindrique pourrait être considérée comme une variété de Clélie par extension à l’ellipsoïde et au cylindre elliptique de cette variété de courbes dont la dénomination fut choisie par Luigi Guido Grandi en 1728 pour l’étude des courbes cyclo-sphériques.
Cette courbe pourrait également s’orthographier "Clé-Lie", compte tenu de son appartenance à un groupe de Lie et de sa potentialité pour dénouer le nœud Gordien des trajets tortueux des particules du fluide dans un milieu poreux [Cf. IV].

Les circonvolutions des courbes ellipsoïdo-cylindriques des équations (4) peuvent être illustrées dans un tout autre domaine par le mouvement qu’effectue un garçon de café, bien entraîné, en portant son plateau en équilibre au-dessus de son épaule par une élévation et une torsion de de son bras puis en l’abaissant tout en le détordant par une deuxième rotation de , dans le même sens, pour revenir à sa position initiale. C’est ainsi que Georges Lochak, Président de la Fondation Louis de Broglie, a illustré ce mouvement apparenté à celui du spin des particules, sur la figure 7 de son ouvrage "L’objet quantique", écrit en collaboration avec Simon Diner et Daniel Fargue et publié aux Ed. Champs Flammarion, 1991, Vol.250, pp.62-64.
Des variations synchronisées de la variable u et du paramètre w dans les équations (4) permettent de décrire sur l’ellipsoïde une variété de courbes cycliques en forme d’hélice.
 

Cette courbe peut être représentée de manière unicursale en fonction d’une variable u qui est un angle dont le sommet est au centre de l’ellipsoïde et qui décrit un intervalle de ׀2π׀ radians dans le plan diamétral d’intersection circulaire de l’ellipsoïde et du cylindre tangent. Dans un repère d’axes orthonormés, Ox, Oy, Oz, les coordonnées d’un point de la courbe sont :

                     
     

avec pour paramètres :
a> b> c, les demi-axes principaux de l’ellipsoïde centré sur l’origine des axes et de directions celles des axes du repère,
cos v =(( a² – b²) / ( a² – c²)) ½ ; sin v = (( b²– c²) / ( a² – c² ))½ ,

w, un angle dont le sommet est au centre de l’ellipsoïde et situé dans le plan diamétral d’intersection circulaire de l’ellipsoïde avec une valeur choisie dans l’intervalle de 0 à 2π radians.
Le paramètre w positionne la courbe sur l’ellipsoïde, le point double de la courbe étant choisi comme origine de la variable u sur le grand cercle d’intersection de l’ellipsoïde. L’origine des variations du paramètre w est le point de coordonnées : x = 0, y = b, z = 0, intersection de l’axe Oy avec l’ellipsoïde comme l'illustre la Figure 32 plus haut.

En incrémentant l’angle w d’une quantité ׀2π /n׀ dans l’intervalle 0 à 2π, la valeur de n étant choisie aussi grande que l’on veut, l’ensemble des courbes recouvre la surface de l’ellipsoïde [Figure 33].

                Réalisation d’un ellipsoïde par une tapisserie de courbes ellipsoïdo-cylindriques      
  Figure 33 - Réalisation d’un ellipsoïde par une tapisserie
de courbes ellipsoïdo-cylindriques (équations (4))
 
     

Cette construction de la surface d’un ellipsoïde triaxes par une tapisserie réalisée suivant la courbe des équations (4) est nouvelle à ma connaissance.

L’échange des valeurs des angles u et w respectivement par les valeurs : u + π, et w + π, conserve les valeurs de chacune des coordonnées, x, y, z, tout en changeant leur signe. Les courbes appariées par cette transposition sont antisymétriques, une propriété qui résulte de la centrosymétrie de l’ellipsoïde comme il a été remarqué plus haut.

Ainsi, le tracé d’une courbe à partir d’un point ombilic permet de revenir à son point de départ en suivant la branche de la courbe antisymétrique, à partir du point ombilic antipodal, en inversant le sens de rotation de la variable u. Ce tracé, effectué par deux demi-boucles ellipsoïdo-cylindriques appariées, réalise une boucle fermée sur la surface de l’ellipsoïde sans qu’il y ait de point double. Un exemple d’application de ce tracé est présenté plus loin [Cf. V] pour le décryptement de la figure du Tai chi, symbole de l’équipartition de l’énergie vitale dans la philosophie bouddhiste taoïste.

Le périmètre de la courbe ellipsoïdo-cylindrique ne peut être évalué analytiquement compte tenu de l’intégration de la fonction elliptique qui figure dans son expression. La longueur de la courbe s’évalue numériquement à partir des intégrales des termes de son développement en série. La précision de cette évaluation dépend des variations de la courbure du tracé en fonction de son positionnement sur l’ellipsoïde. Dans un intervalle de variations de radians du paramètre w et avec un pas permettant de réaliser une tapisserie fine de la surface de l’ellipsoïde, dans le cas de valeurs des ellipticités : a/b = b/c = 2,0, il est constaté que les variations de longueur de la courbe ne dépassent pas ± 0,8%, de part et d’autre de sa valeur moyenne en fonction des variations du paramètre w. Les écarts observés ont une période de π correspondant à l’antisymétrie des courbes qui résulte des propriétés de l’ellipsoïde.

Ces variations de la longueur de la courbe ellipsoïdo-cylindrique sont au demeurant faibles au regard des anisotropies élevées de l’ellipsoïde précité et en comparaison desquelles celles des structures materielles rencontrées dans la pratique sont généralement inférieures. On peut estimer que dans ces conditions la longueur de la courbe ellipsoïdo-cylindrique représentative des équations (4) est quasi stationnaire quelque soit son positionnement sur la surface de l’ellipsoïde43.

[43] Pour une aire constante de l’ellipsoïde, la longueur du périmètre de la courbe ellipsoïdo-cylindrique varie peu en fonction des anisotropies de l’ellipsoïde. Dans le cas de la sphère, la courbe sphéro-cylindrique se différencie d’un grand cercle de la sphère qui est une ligne géodésique au sens du parcours le plus court ou le plus long pour un mobile qui irait d’un point à un autre de la sphère. L’étude de la courbe définie par les équations (4) et de ses propriétés peut s’effectuer en utilisant des algorithmes de calcul complémentaires de ceux de la bibliothèque NAG utilisée pour cette étude en 1993 au Centre Interuniversitaire de Calcul de Grenoble (SIMSU).
 

L’ensemble de ces courbes forme ainsi un faisceau de lignes homotopes qui tapissent la surface de l’ellipsoïde, d’un point ombilic à l’autre en position antipodale.

Le déplacement sur les courbes dû à la rotation en fonction de la variable u peut s’effectuer avec une égale probabilité dans un sens ou dans l’autre. Ainsi, il est possible de regrouper les courbes aux points ombilics en doublets dans lesquels la rotation est inversée d’une courbe par rapport à l’autre. Cet appariement annule d’un point de vue global le moment cinétique résultant de l’ensemble des courbes du faisceau.

     
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Mise en page : A. Pandolfi