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  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

IV - L’écoulement des fluides dans les milieux poreux

IV-2 - L’ellipsoïde, forme canonique optimale du pore équivalent des milieux poreux à texture désordonnée aléatoire

Dans l’écoulement permanent et conservatif d’un volume de fluide incompressible, à débit constant, la vitesse moyenne du débit varie à l’inverse de l’aire de la section conductrice du fluide. Pour un périmètre donné, mouillé par le fluide, une configuration géométrique diminuant la vitesse de l’écoulement correspond à des aires conductrices délimitées par des couronnes circulaires cerclant la surface du pore équivalent36.

[36] Compte tenu de la taille des pores, qui est petite par rapport à l’extension des interfaces, la géométrie des filets du fluide sur la surface du pore équivalent correspond à celle d’un fluide qui s’écoule entre des cloisons parallèles et relativement de faible espacement. La vitesse du fluide est parallèle au plan des interfaces et ses variations sont faibles dans les directions parallèles à ce plan par rapport à ses variations dans la direction perpendiculaire avec une pression constante dans cette direction. Ces conditions correspondent aux conditions des écoulements de Hele-Shaw pour les fluides visqueux entre des cloisons parallèles. [Cf. R. Comolet, "Mécanique expérimentale des fluides", tome.II, pp.100-102 ; E. Guyon, J.P. Hulin, L. Petit, "Hydrodynamique physique", Ed. du CNRS, op. cit. pp.382-384].
 

Par ailleurs, l’optimum d’efficacité pour la vitesse, permettant de minimiser l’action dans le déplacement du fluide, est réalisé lorsque la vitesse a une direction perpendiculaire aux sections de la veine du fluide en écoulement. Ainsi, pour réaliser un tube de courant de forme optimale pour le fluide, la surface du pore équivalent doit pouvoir être cerclée et tapissée par un réseau de lignes de courant perpendiculaires à des cercles37.

[37] L’ensemble des lignes de courant du fluide constitue ainsi un tube de courant de très petite section, en forme de couronne cerclant la surface du pore équivalent. L’homogénéité du domaine poreux étant assumée par hypothèse au niveau de l’étendue du volume élémentaire représentatif, la continuité de la surface du pore équivalent et l’absence de singularités rendent possible cette transposition et les évaluations analytiques sur sa surface. L’équilibre dynamique du fluide est ainsi réalisé d’un point de vue holiste, à l’échelle macroscopique du volume représentatif de l’ensemble de la texture qui est également celui du fluide en écoulement.
 

La surface d’un ellipsoïde peut être cerclée par les intersections de sa surface avec des plans parallèles et de direction perpendiculaire aux normales en ses points ombilics. Les centres des cercles sont alignés sur le diamètre qui joint deux points ombilics situés en position antipodale, diamètre qui est le conjugué des plans de section circulaire par rapport à l’ellipsoïde. Il existe deux familles de ces sections circulaires situées symétriquement par rapport au plan principal de moyenne section de l’ellipsoïde. La sphère, qui est un ellipsoïde dégénéré, a une infinité de ces familles de plans de section circulaire38.

[38] L’indétermination de l’orientation des plans méridiens de la sphère est à l’origine de l’instabilité observée au cours de l’élaboration de la texture d’un ensemble lorsque celui-ci approche l’isotropie, ce qui correspond à un désordre maximum pour la distribution des éléments dans la texture. Ce cas se produit par exemple pour la répartition des fibres en suspension aqueuse, à la formation de la feuille de papier, lorsque le gradient de vitesse approche la valeur zéro dans l’épaisseur de la veine fluide en mouvement. Cet état très instable rend la suspension fibreuse moins homogène. Le papetier dit que l’épair de sa feuille est nuageux, une caractéristique physique qui peut s’avérer être un défaut ou un avantage suivant les utilisations du papier.
 

Étant données ses propriétés géométriques, l’ellipsoïde paraît donc être un candidat potentiel à privilégier pour la surface du pore équivalent d’un milieu poreux. Effectivement, l’intersection d’un ellipsoïde de forme générale triaxes et d’un groupe de cylindres droits de base elliptique qui ont une génératrice commune, axe neutre de symétrie du groupe, permet de modéliser au mieux l’écoulement dans les conditions d’une dépense d’énergie minimale. Une configuration qui satisfait cette condition est celle où chaque cylindre du groupe est tangent à la surface de l’ellipsoïde en son intérieur le long du grand cercle d’intersection de la surface de l’ellipsoïde et de son plan diamétral [Figures 28 & 29].

                Intersection d’un ellipsoïde triaxes et d’un cylindre elliptique tangent       Courbe ellipsoïdo-cylindrique  
  Figure 28 - Intersection d’un ellipsoïde triaxes
et d’un cylindre elliptique tangent, avec une
génératrice du cylindre diamètre des ombilics
  Figure 29 - Courbe ellipsoïdo-cylindrique (gris)
avec la représentation des normales aux ombilics
(jaune) et de l’intersection circulaire de l’ellipsoïde
dans un plan diamétral (rouge)
 
         

Dans ces conditions, la génératrice commune des cylindres, axe neutre du groupe, est le diamètre qui joint les points ombilics antipodaux de l’ellipsoïde. Cette génératrice commune constitue un axe de symétrie pour le groupe, chaque cylindre étant apparié avec un cylindre symétrique du premier par rapport à cet axe. Pour un ellipsoïde donné, il existe deux groupes de cylindres qui réalisent ces conditions, chacun d’eux ayant comme axe neutre le diamètre de l’ellipsoïde qui joint les points ombilics antipodaux [Figure 30]. Un seul de ces groupes est décrit ci-après pour l’analyse de ses propriétés.

                Cylindres elliptiques appariés dans chacun des groupes  par symétrie par rapport à l’axe neutre du groupe, diamètre des  ombilics      
  Figure 30 - Cylindres elliptiques appariés dans
chacun des groupes par symétrie par rapport à l’axe
neutre du groupe, diamètre des ombilics
 
     

Compte tenu de la configuration géométrique réalisée par l’union de la surface de l’ellipsoïde et de chacun des cylindres elliptiques, en chaque point de leur intersection, les plans de section circulaire de ces surfaces ont une même direction et sont perpendiculaires à la normale aux points ombilics. Ces plans confondus rendent conjointement optimal l’écoulement d’un fluide à travers ces sections. Ainsi, la direction de la normale aux points ombilics de l’ellipsoïde est en tous les points de la surface du pore équivalent : la direction du déplacement en translation des éléments de volume du fluide avec une moindre action ainsi que l’axe de leur rotation avec un rayon de giration constant égal au rayon de la section oblique circulaire des cylindres elliptiques. La rotation couplée avec la translation réalise un mouvement hélicoïdal pour les éléments de volume, avec une vitesse de rotation définie en fonction d’une variable temporelle. Cette variable évolue suivant un axe dont la direction est celle de la normale aux points ombilics, dans un intervalle délimité par le diamètre de l’ellipsoïde entre ses points ombilics. Pendant son déplacement, l’élément du fluide est contraint sur la surface du pore équivalent par une déformation qui équilibre les éléments du volume par rapport au plan de section droite des cylindres elliptiques.

Les arcs des courbes d’intersection de l’ellipsoïde et des cylindres elliptiques ont les propriétés de symétrie de chacune de ces surfaces. À chaque élément d’arc correspond sur l’ellipsoïde par rapport à son centre un élément d’arc antisymétrique, situé sur un cylindre symétrique du premier par rapport à l’axe neutre du groupe, diamètre des points ombilics. L’ensemble des courbes d’intersection, lorsqu’elles sont étendues de part et d’autre de leur tracé, constitue l’enveloppe modélisée et statistiquement moyennée des interfaces mouillées par le fluide d’un point de vue global. Cette enveloppe ellipsoïdale est définie en fonction d’un critère de dépense d’énergie minimale pour l’écoulement du fluide sur sa surface. Les points ombilics qui sont des points communs à l’ensemble des courbes d’intersection constituent des nœuds pour le réseau des trajectoires du fluide. La probabilité de présence des particules en ces points y est de 100 % et leur vitesse y est également probable dans toutes les directions du plan tangent à la surface du pore équivalent39.

[39] Dans la modélisation de l’écoulement du fluide sur le pore équivalent, la localisation d’une particule est de 100% aux points nodaux qui sont les points d’intersection de l’ensemble des trajectoires probabilistes. En revanche, la direction de la vitesse de la particule est indéterminée en ces points qui sont des ombilics pour la surface dans le cas d’un pore équivalent ellipsoïdal.
 

Suivant cette modélisation de l’écoulement, le fluide effectue, d’un point de vue global dans la texture du milieu poreux, un déplacement hélicoïdal de pénétration accompagné d’une déformation. Ce mouvement est celui qui est impulsé à un mélange de particules lorsqu’elles sont fractionnées par tamisage en fonction de leur taille. L’opération est réalisée par l’écoulement du mélange à travers des tamis constitués de toiles calibrées, disposées dans des plans parallèles successifs. L’ensemble des tamis est animé d’un mouvement de rotation dans leur plan avec des impulsions transversales qui correspondent à des secousses dans la direction perpendiculaire au plan de rotation.

Un autre exemple est celui de la formation de la feuille de papier sur les machines dites à table plate. Sur ces dernières, la suspension des fibres est mise en dépression sur une toile de filtration horizontale et, simultanément, soumise à un cisaillement dans l’épaisseur de la suspension ainsi que, parfois, à un branlement transversal de la toile filtrante dans la direction perpendiculaire au sens de la marche de la toile filtrante. L’effet combiné de ces mouvements facilite l’égouttage de l’eau à travers la feuille tout en contrôlant l’anisotropie de la texture fibreuse40.

                 
  Figure 31 - Feuille de papier d’impression
vue en transmission de la lumière
montrant la répartition en flocs des fibres
 
[40] Lorsque la vitesse de formation de la feuille est élevée – plusieurs centaines de m/mn, voire 2000 m/mn sur la machine à papier – le branlement dans la direction transversale de la table de filtration de la suspension fibreuse n’est pas possible mécaniquement. Cependant, le mouvement transversal peut être réalisé au moyen de règles dont le profil est crénelé, ce qui provoque des micro-courants transversaux qui déplacent les fibres dans la suspension. Ce procédé a été proposé par Robert Charuel, Professeur à l’EFPG dans les années 1980 et aujourd’hui enseigné par Jean-Claude Roux, Professeur de Génie Papetier à Grenoble INP-Pagora.

Comme mentionné précédemment [Cf. I-2], la feuille de papier est constituée de flocs qui sont des agrégats de grains fibreux [Figure 31]. La taille de ces agrégats dépend de celle des micro-turbulences dans la suspension des fibres. Leur distribution dans la feuille paraît régie par le même principe organisationnel qui structure les grains dans les flocs à l’échelle millimétrique. L’autosimilarité, qui a souvent été constatée pour la distribution en orientation des flocs anisotropes dans la feuille relativement à celle des fibres à l’intérieur des grains, se vérifie en comparant les mesures d’orientation des éléments fibreux par des échantillonnages effectuées à des échelles différentes : d’une part, à l’échelle millimétrique dans les grains fibreux et, d’autre part, à l’échelle décimétrique dans des échantillons de papier de dimension 6,6 cm x 6,6 cm, qui constituent une surface représentative pour évaluer la répartition des flocs.

Il est possible de définir l’anisotropie des flocs ainsi que leur orientation et leur taille dans la feuille de papier par la mesure optique du gradient des niveaux de gris de l’échantillon éclairé en transmission. L’interprétation des mesures est faite suivant le concept de la surface conforme équivalente. [Cf. A.P. Alves Da Costa, "Contribution à l’étude du facteur de formation de la feuille de papier", pp.99-129, thèse de doctorat, nov. 2001, Universidade da Beira Interior (Portugal) et Institut National Polytechnique de Grenoble (France)].
 

Quatre siècles avant notre ère, Démocrite estimait "qu’il existe un seul genre de mouvement : le mouvement par secousse, qui s’exerce en tous sens", un concept repris par Épicure (341-271 av. J.C.) qui écrivait "qu’il faut pour que le monde et les êtres soient engendrés, que se produise aussi spontanément une légère déviation latérale"41.

[41] Un énoncé du mouvement des corps a été édicté par Épicure puis repris par Lucrèce (v.98-v.55 av. J.C.) qui l’a versifié dans son poème "De natura rerum" (De la nature des choses). Au Chant II, versets 214-241, il est écrit :
"Parvenu en ce point, nous brûlons de te faire
encore savoir ceci : tandis que, par le vide,
les corps tombent tout droit sous l’effet de leur poids,
ils font, en un moment tout indéterminé
et en des lieux tout aussi indéterminés,
un écart dans leur course ; oh petit, juste assez
pour que leur mouvement puisse être dit changé..."

[Traduction par Bernard Pautrat, en alexandrins non rimés, Livre de Poche, 4677, p.189].

Ce concept du mouvement des corps met en exergue l’importance du clinamen, c'est-à-dire la déviation des trajectoires, argumenté et théorisé de nos jours par les physiciens et les philosophes en tant que principe d’évolution. [Cf. recherches sur la flèche du temps de Maurice Solovine, "Epicure, doctrines et maximes", traduites et accompagnées d’une note sur le clinamen, p.255 ; J.M. Serres, "La naissance de la physique", pp.11-14, 26-27, 74-75 ; "Démocrite et l’atomisme ancien, Fragments et témoignages", p.27 et 65, texte traduit par Maurice Solovine, introduction et commentaires de Pierre-Marie Morel, Agora, Les Classiques].
 
     
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Mise en page : A. Pandolfi