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Vous êtes ici : Accueil > La technique > Consommables et papier > La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier > L’écoulement des fluides dans les milieux poreux > L’écoulement au niveau macroscopique   Révision : 23 novembre 2015
 
  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

IV - L’écoulement des fluides dans les milieux poreux

Le concept du pore équivalent peut être appliqué à l’étude des écoulements des fluides dans les milieux poreux dont la texture est désordonnée aléatoire. Dans ces milieux, les caractéristiques géométriques des interfaces sont définies de place en place de manière stochastique. Il en est de même pour les déformations élémentaires de la phase fluide dans son déplacement à travers le milieu poreux et il n’est pas possible de prévoir que telle particule du fluide occupera telle place plutôt qu’une autre dans la texture. Ainsi, les particules sont indiscernables les unes par rapport aux autres d’un point de vue analytique pour l’étude de l’écoulement.

Suivant le principe de la moindre action de Moreau de Maupertuis30, les déplacements du fluide d’un point à un autre dans le milieu poreux s’effectuent de manière telle que l’action, qui est l’accumulation du produit du déplacement des particules par leur quantité de mouvement au niveau élémentaire, soit minimale ou, ce qui revient au même, que la variation d’énergie cinétique des particules soit minimale pendant la durée de leur déplacement.

[30] Le principe de la moindre action est l’équivalent de la condition de Lagrange suivant laquelle, dans la durée du déplacement, la valeur moyenne de la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle des particules est extrémale ou, suivant Euler, que la variation d’énergie potentielle des particules au cours de leur transfert est minimale.
À masse volumique constante pour un fluide qui s’écoule dans une texture poreuse, la circulation du fluide s’effectue avec une moindre action pour aller d’un point à un autre.
 

Les déplacements de la phase fluide au cours de l’écoulement dans le milieu poreux sont irréversibles, étant donné leur caractère stochastique au niveau microscopique, et s’effectuent donc avec une augmentation du désordre des particules dans l’ensemble : il y a augmentation de l’entropie du fluide31.

[31] En thermodynamique statistique, l’entropie mesure le degré de désordre d’un système au niveau microscopique. Plus l’entropie du système est élevée, moins ses éléments sont ordonnés, liés entre eux. Ludwig Boltzmann a exprimé l’entropie statistique S en fonction du nombre d’états microscopiques N(x) définissant l’état d’équilibre d’un système donné au niveau macroscopique.
On a S = - ∫ p(x) log[p(x)] dx, où p(x)= N(x)/∑ N(x), 0‹p(x)‹1.
L’équilibre d’un système thermodynamique est réalisé quand son entropie a la valeur maximale compatible avec les contraintes auxquelles il est soumis.

Dans le cas de l’écoulement d’un fluide dans un milieu poreux, les orientations des interfaces des éléments du fluide qui s’écoulent au voisinage des parois des pores, pour des faibles valeurs du nombre de Reynolds, sont conformes en moyenne aux orientations des éléments de la surface du pore équivalent du milieu poreux. La distribution en orientation des rayons de courbure d’une ellipse, normée c'est-à-dire rapportée au périmètre de l’ellipse, est très proche d’une fonction Gaussiène tronquée circulaire. Dans ces conditions, l’entropie du fluide en écoulement dans un milieu poreux dont le pore équivalent est ellipsoïdal est maximale.
 

Ces considérations générales sont celles des écoulements des fluides dans la texture fibreuse des papiers, des cartons, des textiles non tissés et des feutres pendant leur utilisation ainsi qu'au cours de la mise en forme de ces matériaux sous l’effet de contraintes de différentes natures : mécanique, hydromécanique, gravitationnelle. Des analogies existent au point de vue formel entre les lois d’écoulement des fluides dans les milieux poreux, en régime stationnaire relativement lent, et les lois de transfert d’énergie : mécanique, électrique, électromagnétique et de propagation de la chaleur, d’où le double intérêt de l’étude des lois d’écoulement des fluides dans les milieux poreux32.

[32] Pour l’étude des analogies hydrodynamiques, on peut consulter notamment : S.P. Timochenko, J.N. Godier, "Theory of elasticity", 3rd ed., Mc Graw-Hill, Hydrodynamical Analogies, 114, pp.325-328 ; M. Paschoud, "Le problème de la torsion et l’analogie hydrodynamique de M. Boussinesq", Bulletin technique de la Suisse Romande, n°23, 7 nov. 1926, pp.277-284 ; E. Guyon, J.P. Hulin, L. Petit , "Hydrodynamique physique", Inter éditions / éditions du CNRS, 1991, Analogies avec l’électromagnétisme, 3.3, pp.122-123 ; J. Ferrandon, "Les lois de l’écoulement de filtration", Le génie civil, tome CXXV n°2, pp.24-28, 15 janv. 1948.
 

IV-1 - L’écoulement au niveau macroscopique

L’étendue du domaine analysé dans le milieu poreux peut être délimité par celui de son volume élémentaire représentatif dont la surface du pore équivalent est une représentation statistiquement moyennée et conforme de celle des interfaces qui canalisent le fluide à travers la texture. Au niveau macroscopique, l’étude du transfert du fluide dans le milieu poreux revient à analyser l’écoulement de filets de fluide relativement à la surface de son pore équivalent.

De manière générale, le mouvement dans un petit intervalle de temps d’un élément de volume du fluide en écoulement se décompose au premier ordre en une translation et une rotation qui correspondent à un déplacement en bloc de l’élément de volume ainsi qu’en une déformation qui correspond à la décomposition de l’élément de volume en éléments plus petits tels que chacun d’eux se déplace relativement par rapport aux autres sous l’effet des contraintes imposées au fluide33.

[33] Envisageons le mouvement d’un fluide incompressible sur la surface d’un cylindre droit de base elliptique. En tous les points de la surface du cylindre, le mouvement d’un élément de volume dans un petit intervalle de temps peut être décomposé d’une part, en un mouvement hélicoïdal qui correspond à une translation et à une rotation en bloc sans changement de forme de l’élément, sur la surface d’un cylindre de section circulaire, d’axe orthogonal au plan des sections circulaires du cylindre elliptique et, d’autre part, de manière concomitante, en une déformation iso volume de l’élément de fluide.

Le mouvement hélicoïdal peut être incrémenté dans la direction de l’axe des sections obliques circulaires du cylindre en fonction d’une variable liée à la durée de l’écoulement sur la surface. Le pas réduit de l’hélice est défini par le rapport de la hauteur du cylindre elliptique projetée sur une droite de direction celle de l’axe des sections circulaires du cylindre et du périmètre du contour de la section oblique circulaire du cylindre. La déformation iso volume résulte d’une part d’une affinité par rapport au grand axe de la section droite elliptique du cylindre, qui a pour effet de réduire l’aire de la section oblique circulaire en celle de la section droite elliptique dans le rapport cos (V) et d’autre part d’une dilatation de l’épaisseur de la tranche de base circulaire de l’élément de volume suivant l’axe de la section elliptique du cylindre dans le rapport : 1/cos(V). V est l’angle entre les normales aux plans des sections droites elliptiques et obliques circulaires du cylindre. Par construction, cos (V) est égal au rapport des aires des sections droites elliptiques et obliques circulaires du cylindre.

Cette analyse du mouvement d’un élément de volume à la surface d’un cylindre elliptique peut s’envisager dans le cas du fluide qui s’écoule à l’interface des pores dans la texture d’un milieu poreux. Le but de cette étude est de construire de manière globale les lignes de courant du fluide d’un point à un autre de la texture poreuse par sommation des déplacements et des déformations élémentaires du fluide suivant cette analyse.
 

Dans le cas d’un fluide incompressible, la divergence de la vitesse est nulle et la déformation s’effectue sans changement du volume de l’élément.
Étant données l’homogénéité de la texture poreuse et l’indiscernabilité des particules fluides due à leurs mouvements stochastiques, on doit conclure que les déplacements et les déformations des éléments de volume sont, une fois moyennés, paramétrés de manière identique en chaque point de la surface du pore équivalent34.

[34] Ce raisonnement correspond à une conjecture énoncée par Henri Poincaré à l’issue du congrès de Solvay en 1911, citée par Jean-Paul Auffray : "le quantum élémentaire d’action constitue un véritable atome, un atome de mouvement, dont l’intégrité vient du fait que les points qu’il contient sont équivalents d’un point à un autre du point de vue de la probabilité". Ce physicien théoricien reprend cette conjecture pour la définition de l’espace fait des i points qui est l’objet de ses recherches. [Cf. "The string, string theorists forgot to notice" (La corde que les physiciens des cordes ont oublié de voir), november 2007].
 

Ainsi, pour chaque élément de volume du fluide sur la surface du pore équivalent, la direction de l’axe de sa translation qui est également la direction de l’axe de sa rotation, le rayon de giration et l’amplitude de sa rotation et les taux de sa déformation sont dans une même durée simultanément les mêmes en tous les points de la surface du pore équivalent. L’invariance de ces paramètres caractérise leur appartenance à un groupe35, spécifique du mouvement du fluide. La question est : quelle configuration du pore équivalent est compatible avec un groupe spécifique du mouvement des éléments du fluide sur sa surface ?

[35] Selon la définition donnée par E. Cartan, "La théorie des groupes", Revue du Palais de la Découverte, 17, 15, 1989, "un groupe peut être considéré comme formé de toutes les opérations d’une nature donnée qui conservent certaines propriétés des objets auxquels elles sont appliquées, ou certaines relations entre ces objets".
Un groupe possède une loi associative pas forcément commutative, avec un élément neutre chaque élément ayant un symétrique. [Cf. G. Lochak, "La géométrisation de la physique", Ed. Champs, pp.184,192 ; M. Lachieze-Rey, "Au-delà de l’espace et du temps", p.250 ; G. Dhont, B. Zhilinskii, "Symétrie dans la nature", PUG, 2011, pp.29-30].
 
     
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