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Vous êtes ici : Accueil > La technique > Consommables et papier > La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier > Validation et applications du concept de pore équivalent > La représentation du pore équivalent par des fonctions elliptiques   Révision : 23 novembre 2015
 
  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

III - Validation et applications du concept de pore équivalent

III-2 - La représentation du pore équivalent par des fonctions elliptiques

Il a été constaté maintes fois que l’ellipse convenait pour la représentation du pore équivalent de la feuille de papier lorsque sa texture est analysée dans son plan de même que l’ellipsoïde lorsqu’elle est analysée dans ses trois dimensions. Ces observations ont été faites par exemple dans les cas du papier journal, des papiers d’impression, des papiers filtre et des papiers d’emballage. Des configurations elliptiques conviennent également dans le cas des matériaux textiles non tissés que ce soient les voiles de faible grammage (12 g/m²) ou les feutres avec un fort grammage (1000 g/m²) voire davantage28.

[28] Des feutres et des mats géotextiles de fibres ont été analysés par diffraction ainsi que par diffusion d’un faisceau laser, à l’Universidade da Beira Interior (Portugal). Ces analyses ont été complémentées en les corrélant avec des essais physiques réalisés sur ces mêmes échantillons au laboratoire de mécanique textile du Professeur Drean de l’École Nationale Supérieure des Industries Textiles (ENSISA, France). Les matériaux non tissés et les géotextiles ont été réalisés au Centre of Technology Textile du Saint- Hyacinthe-Polytechnic Institute (Groupe CTT) de Montréal (Canada).
Pierre Chevalier, Ingénieur EFP, doctorant au LGP2, a modélisé la texture des feutres de machines à papier suivant le concept du pore équivalent dans sa thèse "La modélisation et les propriétés de perméabilité des feutres", réalisée en 1995 en collaboration avec la Société Binet-Feutres à Annonay (France). Sa recherche a été primée en 1996 par l’Association européenne des fabricants de feutres.
 

Tous ces matériaux ont une texture fibreuse qui résulte de processus complexes conditionnés par des variables indépendantes intervenant au cours du procédé de fabrication. La longueur, la largeur, la courbure des fibres ou des filaments, leur localisation et leur orientation dans la texture fibreuse sont des paramètres distribués suivant des lois probabilistes.

Il est généralement constaté que la densité de probabilité en orientation pondérée par la longueur des éléments fibreux Ψ (θ) vérifie, dans le plan, une loi de distribution qui correspond au rayon de courbure d’un cercle ou au rayon de courbure d’une ellipse d’ellipticité a/b et, dans l’espace en trois dimensions, à celui d’une sphère ou d’un ellipsoïde triaxial d’ellipticités a/b et c/b. Comme il a été remarqué plus haut, dans le cas de structures complexes, une combinaison linéaire des rayons de courbure de composantes elliptiques suivant différentes proportions convient également, chacune des composantes étant définie par son périmètre ou son aire, ses ellipticités et l’orientation de ses axes. Ces résultats sont observés quelque soit la nature des fonctions qui définissent les caractéristiques originelles des matières premières fibreuses et leur répartition dans la texture29.

[29] Il a souvent été constaté que le rayon de courbure soit d’une ellipse soit d’un ellipsoïde, lorsqu’il s’exprime normé de manière relative c’est-à-dire rapporté au périmètre ou à l’aire de ces figures, était la mesure la mieux adaptée pour caractériser la densité de probabilité en orientation pondérée des particules dans une texture, en comparaison des distributions circulaires de Gauss tronquée (truncated normal distribution), de Von Mises ou de Cauchy Lorentz (wrapped cercle Cauchy distribution) souvent utilisées pour l’analyse des matériaux. [Cf. M.C. Peron, Y. Berthoumieu, J.P. Da Costa, C. Germain [et al] "Modèles circulaires pour la caractérisation de textures orientées", Université de Talence et Gradignan, France. ; J. Silvy, "Étude structurale de milieux fibreux", thèse d’Etat, INPG et USMG, 1980, pp.97-157 ; C. Baratte, "L’adéquation des feutres de papeterie en fonction de la morphologie des fibres et des procédés de fabrication du papier, une étude réalisée par modélisation sur ordinateur avec ses vérifications expérimentales", p.113, thèse réalisée au LGP2 ; T. Wahlstrom, "Prediction of fibre orientation and stifness distribution in paper, Fundamental research symposium on paper", TAPPI, BPMA, Cambridge, 2009].

De nombreux matériaux, qu’ils soient naturels ou artificiels, ont un pore équivalent ellipsoïdal. La géométrie de l’ellipsoïde permet de prendre en compte les symétries bilatérales qui s’établissent au cours de l’élaboration de la structure des matériaux ou des ensembles dans des champs de forces gravitationnelles, hydromécaniques et sous l’effet des tropismes environnementaux. D’Arcy Thompson dans "On grow and form" publié en 1917, a analysé la symétrie des structures naturelles animales, végétales et minérales. Hermann Weyl dans "Symétrie et mathématique moderne", Princeton, 1952, Flammarion, 1964, montre l’importance des facteurs environnementaux, déterminants pour l’établissement des symétries structurales dans le domaine du vivant. Cet auteur cite "les potentialités prospectives de développement des membres des amphibiens à partir de bourgeons telles que les a étudiées R.G. Harrison dans des expériences de transplantation de disques prélevés sur le corps, mettant en évidence que 'l’axe antéropostérieur est déterminé à une époque où la transplantation peut encore inverser l’axe dorso-ventral et l’axe médian latéral' de leur corps". [Cf. H. Weyl, "Symétrie et mathématique moderne", Chap. sur la symétrie bilatérale, p.43, Ed. Champs Flammarion, 1964]. Les études des botanistes sur la phyllotaxie de l’émergence des feuilles dans les végétaux ont montré qu’il existe parfois un ordre caché derrière l’irrégularité, certains modèles déterministes pouvant intégrer des fluctuations aléatoires. [Cf. l’ouvrage de synthèse de Francis Hallé, "Aux origines des plantes", Tome 1, chap. 4, pp.155-163].

Boris Zhilinskii et Guillaume Dhont, de l’Université du Littoral Côte d’Opale, ont analysé différents aspects de ces questions dans "Symétrie dans la nature", PUG, 2011.
Les pierres charriées dans le lit des glaciers ou roulées dans le lit des cours d’eau, les grains de sable qui ont subi une érosion éolienne, ont une forme souvent proche de celle d’un ellipsoïde. Il en est de même pour les galets et les pelotes fibreuses rejetés sur les grèves sous l’effet du balancement des marées et du ressac des vagues. Différentes théories ont été proposées pour expliquer la forme ellipsoïdale des galets de pierre. Platon dans Le Timée écrivait : "Alors la terre, comprimée par l’air de manière que l’eau ne peut la dissoudre, forme une pierre..."
David Hilbert et S. Cohn-Vossen rappellent l’importance des théories probabilistes dans les phénomènes d’érosion dans "Geometry and the Imagination", traduction anglaise, p.13, Chelsea Pub., 1952. L’analyse des mécanismes de formation de la feuille de papier ainsi que des considérations énergétiques [Cf. IV-2] justifient le formalisme elliptique de structuration des ensembles d’objets lorsqu’ils sont soumis à des sollicitations aléatoires.
 

Dans le cas d’un ensemble d’éléments rectifiés dans un plan, la densité de probabilité en orientation des éléments pondérée par leur longueur Ψ (θ) peut être représentée par le rayon de courbure normé par rapport à son périmètre d’une ellipse rapportée à ses axes principaux et paramétrée par la valeur de son ellipticité a/b suivant l’expression :

                     
     

La valeur du paramètre AF est égale au rapport des valeurs maximum et minimum des mesures de la densité en orientationΨ (θ) obtenues dans deux directions respectivement perpendiculaires. L’expression deΨ (θ) s’obtient en pratique par une optimisation suivant la méthode des moindres carrés, en fonction des mesures de la répartition en orientation des éléments fibreux.
Le rapport Ψ (θ =0) / Ψ (θ= +/- π/2) atteint sa valeur maximum lorsque la fonction Ψ (θ) a son maximum Ψ (θ =0) centré sur le grand axe de l’ellipse.

                     
     

a1 et a2 sont les cœfficients d’ordre 1 et 2 du développement en série de Fourier de la fonction Ψ (θ) en fonction de l’orientation θ des éléments fibreux. Le terme a0 du développement correspond au cas d’une texture isotrope dans le plan ; sa valeur normée est égale à 1/π.

La densité de probabilité en orientation Ψ (θ) est corrélée avec les propriétés des matériaux, par exemple le module d’élasticité du papier, sa contrainte à la rupture en traction plane à mors jointifs, ainsi que les paramètres de fabrication, par exemple le taux de cisaillement dans l’épaisseur de la veine liquide de pâte à papier lors de la formation de la feuille sur la machine. Le paramètre AF caractérise l’anisotropie de ces propriétés. Sa relation d’avec l’ellipticité a/b est un cas d’espèce pour chacune des propriétés envisagées et peut être différente de l’équation (1). Par exemple, dans le cas des modules d’élasticité en traction plane de la feuille de papier, le rapport d’anisotropie AF = Esm/Est vérifie les relations :

                     
     

Esm étant la valeur maximum du module d’élasticité, généralement obtenue dans le sens de fabrication de la machine à papier et, Est, la valeur minimum obtenue dans le sens travers, perpendiculaire au sens de fabrication.

Différentes méthodes d’évaluation de la densité de probabilité en orientation des fibres dans les papiers et les textiles non tissés ont été réalisées avec des échantillons de tailles différentes, prélevés au hasard dans une bande de papier de plusieurs mètres ou dans des liasses de feuilles. Dans la méthode par observation visuelle ou assistée par un capteur d’images, qualifiée de méthode directe, on mesure l’orientation et la longueur rectifiée de fibres colorées représentant une fraction en masse de 2,5 / 1000 dispersée dans la suspension de pâte à papier avant la formation de la feuille. L’espacement des fibres colorées observées dans le plan de la feuille est en moyenne de quelques mm dans le cas d’un papier de grammage : 50g/m², de fibres de résineux raffinées à 25°S.R, à l’hydrafiner.

Les mesures peuvent être réalisées en scannant directement la feuille de papier à sa surface ou sur des fractions obtenues par des clivages successifs de la feuille dans son épaisseur. Jusqu’à sept fractions peuvent ainsi être obtenues dans une feuille de papier d’épaisseur 70 microns.

                   
  Figure 21 - Diffusion par transmission d’un faisceau
laser de section 0,2 mm, impactant une feuille
de papier d’emballage, mesure en continu sur
machine à papier par le procédé Lippke.
L’élongation de l’image est la plus marquée
dans la direction du maximum d’orientation des fibres.
 

D’autres méthodes ont été expérimentées sur des champs d’observation de dimension millimétrique : par microscopie optique ou électronique, dans le plan de la feuille et dans des coupes minces transversales perpendiculaires au plan de la feuille, par diffusion de la lumière d’un faisceau laser de longueur d’onde, λ= 820nm, de section submillimétrique 200 µm impactant des feuilles de papier et des feutres textiles, soit à travers le plan de la feuille [Figure 21], soit dans l’épaisseur des feuilles sur la tranche d’un empilement de feuilles.

La diffraction d’un rayonnement laser à travers des répliques transparentes de la surface du papier ou de voiles textiles non tissés permet d’analyser l’orientation des fibres à leur surface. Les champs d’observation impactés par le faisceau laser sont circulaires et de quelques mm de diamètre. Les Figures 22 & 23 sont des exemples de ces méthodes développées par Mario Pereira et Rita Salvado dans leurs recherches sur la structure des papiers et des non tissés, au laboratoire d’optique du Professeur Paulo Fiadeiro à l’Universidade da Beira Interior (Portugal).

                       
  Figure 22 - 1, Image en microscopie électronique
de la surface d’un non tissé spunbond.
2, Réplique de la surface du non tissé sur
un film transparent de polymère thermoplastique
  Figure 23 - Image de diffraction par transmission
d’un faisceau laser de section 10 mm, impactant
la réplique transparente de la surface d’un non tissé
spunbound. L’élongation de l’image est la plus marquée
perpendiculairement à la direction du maximum
d’orientation des fibres.
 
         

L’orientation des fibres peut être caractérisée également par la diffraction de rayons X à travers des feuilles de papier relativement minces ainsi que par l’analyse tomographique des images obtenues par absorption et contraste de phase de rayons X de haute énergie. Les échantillons de papier en ce cas ont une taille submillimétrique. Les Figures 24 & 25 sont relatives à des analyses d’un papier journal, réalisées par cette méthode à l’European Synchrotron Radiation Facility (ESRF) de Grenoble, par Christine Antoine et Rune Holmstad, chercheurs à l’Institut norvégien de recherche en pâtes et papiers de Trondheim.

                        Pore equivalent ellipsoïdal d’un papier journal   
  Figure 24 - Papier journal, 45 g/m², en coupe transversale
[ESRF]
  Figure 25 - Pore équivalent ellipsoïdal d’un papier journal,
45 g/m² (échelle en μm)
 
         

Une série de papiers fabriqués en 1979 sur la machine pilote du Centre Technique du Papier à Grenoble, avec différentes valeurs d’anisotropies en orientation des fibres, a permis de faire des comparaisons entre ces différentes méthodes. Différents laboratoires universitaires et industriels de par le monde ont testé cette série de papier avec leurs propres méthodes basées sur des mesures directes visuelles de l’orientation de fibres colorées, le comptage de leurs interceptes linéiques, les images de diffusion et de diffraction de rayonnements laser et de rayons X. La concordance de l’ensemble des mesures confirme, à la précision près, que la répartition de la densité de probabilité en orientation des fibres pondérée en longueur est au mieux conforme à la répartition des rayons de courbure d’une ellipse caractérisée par son ellipticité et par la direction de son grand axe suivant la direction dominante d’orientation des fibres. Le choix de la méthode de mesure de l’orientation des fibres s’effectue en fonction des matériaux étudiés et des moyens qui sont mis en œuvre au laboratoire ou dans la chaîne de production industrielle pour le contrôle de cette propriété.

Bibliographie
SMITH C.S., GUTTMAN L.   Measurement of internal boundaries in three-dimensional structures by random sectioning.   Journal of Metals (Transactions AIME), janvier 1953, pp.81-87.
KLEIN P., ONDRACEK G. La corrélation entre structure et propriétés de champ pour des solides frittés polyphasés. Revue de Chimie Minérale, 1981, vol.18, n°5, pp.392-411.
BARRATTE C. Modélisation de l'influence d'une toile sur la formation et l'imprimabilité d'une feuille de papier. Thèse de doctorat : Génie des procédés : Grenoble, INPG : 2001, p. 113, fig. 2.16. 2001.
GROLIER J., FERNANDEZ A., HUCHER M., RISS J. Les propriétés physiques des roches : théories et modèles. Paris ; Milan ; Barcelone : Masson, 1991. Chap. 7, Notions de forme, forme moyenne, forme équivalente, pp.109-114, Le concept de pore équivalent (J.Silvy, 1980,1985), pp. 114-116. Chap. 21, Propriétés mécaniques III pp.411-430.
     
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Mise en page : A. Pandolfi