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  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

II - Un concept de caractérisation des ensembles à texture désordonnée aléatoire : le pore équivalent

II-5 - La dualité du pore équivalent et du pore moyen

II-5-1 - Définition du pore moyen

Les mesures des traversées effectuées dans une texture permettent d’évaluer dans une direction θ deux paramètres : d’une part, le nombre moyen des interceptes linéiques avec les interfaces des pores et des particules < P (θ)> et, d’autre part, la longueur moyenne de la corde interceptée dans cette direction entre les interfaces <g (θ)>. Ces paramètres sont inverses l’un par rapport à l’autre au facteur près de proportionnalité égal à , ε étant la porosité de la texture.

L’indicatrice de la demi-corde <g (θ)>/2 interceptée entre les interfaces de la texture, moyennée dans chaque direction θ, permet dans un système de coordonnées polaires de représenter ce qu’il est usuellement convenu d’appeler le pore moyen de la texture ou la forme moyenne des particules qui lui est complémentaire. Le pore moyen caractérise au sens probabiliste l’étendue de la phase poreuse qui jouxte la phase solide aux interfaces, moyennée dans chaque direction dans la texture. Ainsi, le pore moyen n’est pas un espace qui définirait un contour ou une surface bornée physiquement identifiable dans la texture et sans communications avec l’espace environnant, pas plus que ne l’est la forme moyenne ainsi définie dans le cas des particules.

Il est d’usage de définir la taille des pores comme étant égale à la longueur moyennée des cordes <<g (θ)>>, toutes les directions des traversées étant confondues. <<g(θ)>> est égale au quadruple d'une entité qu'il est convenu d'appeler le rayon hydraulique moyen défini en tant que rapport de l’aire de la section droite normale à l'écoulement au périmètre mouillé des pores ou du rapport du volume rempli de fluide à la surface mouillée dans le cas d'un milieu poreux d'aire de section des pores uniforme saturée par le fluide. Cette définition, par essence analytique, ne permet pas d’identifier directement à l’observation de la texture le rayon hydraulique moyen . Un théorème de stéréologie énoncé notamment par Tomkeieff démontre l’égalité du rayon hydraulique moyen d'avec le quart de la taille des pores. On a <<g (θ)>> = 4 mĥ = 4 ε / Sv, ε étant la porosité et Sv la surface spécifique volumique du milieu poreux.

II-5-2 - Le pore équivalent de forme ellipsoïdale

Une propriété du pore moyen est sa similitude de forme avec le pore équivalent dans le cas où celui-ci est un ellipsoïde. Ce résultat résulte de l’équivalence entre d’une part, la relation stéréologique précitée qui relie dans une direction donnée θ la corde moyenne dans les pores d’un ensemble et l’aire des interfaces des particules projetée sur un plan perpendiculaire à cette direction et, d’autre part, la relation géométrique qui relie un diamètre conjugué d’un ellipsoïde dans une direction θ et l’aire projetée de la surface de l’ellipsoïde sur un plan perpendiculaire à ce diamètre26.

[26] Cette équivalence entre une propriété géométrique de l’ellipsoïde et une propriété stéréologique d’un ensemble d’objets est un élément clé pour l’analyse des ensembles désordonnés aléatoires suivant le concept du pore équivalent. Cette propriété dérive d’un des théorèmes d’Apollonios de Perga énoncé en 260 (environ) av. J.C. dans le cas de l’ellipse. Le théorème d’Apollonios se généralise dans le cas de l’ellipsoïde et permet de calculer le volume de cette figure en fonction de trois diamètres conjugués et de leurs angles respectifs deux à deux. En faisant apparaître dans l’expression du volume l’aire projetée de la surface de l’ellipsoïde sur un plan perpendiculaire à l’un des diamètres, j’ai rapproché le résultat obtenu de l’équation stéréologique qui relie les projections sur un plan des aires des interfaces d’une texture et la longueur moyenne entre les interceptes dans la direction perpendiculaire à ce plan.
Ce résultat est cité et ré-argumenté parfois par différents auteurs notamment J. Riss dans "Principes de stéréologie des formes en pétrographie quantitative", thèse d’Etat, Université d'Orléans, 1988, chap.4. Autre forme équivalente : "le pore équivalent", pp.304-309. Des développements basés sur cette relation ont été faits par N. Bodin, dans "Description de la topographie des surfaces à l’aide de structures homogénéisées équivalentes conformes", thèse soutenue à l’Université de Franche-Comté en 1999.
 

Le choix d’un ellipsoïde en tant que configuration du pore équivalent n’est ni fortuit ni restrictif. En effet, sa surface optimise les transferts d’énergie dans la texture d’un ensemble lorsque celui-ci est contraint dans un champ de forces27 [Cf. III et IV ci après].

[27] Cette hypothèse est à rapprocher d’une conjecture énoncée par Eshelby et démontrée par la suite par H. Kang qui établit que la forme elliptique d’une inclusion ou d’un vide de petite taille dans un matériau, considéré par ailleurs comme homogène, est la forme optimale qui minimise l’énergie dépensée dans le cas de sollicitations uniformément réparties sur l’ensemble, celles-ci pouvant être de nature thermochimique, mécanique, magnétique ou électrique.
 

Ainsi, la mesure des cordes moyennes dans les différentes directions entre les interfaces des phases permet-elle d’identifier, directement et de manière simple, le pore équivalent ellipsoïdal ce qui est le cas pour de nombreux ensembles d’objets. L’indicatrice de la corde moyenne <g (θ)> dans les pores est semblable au pore équivalent et, par conséquent, l’inverse géométrique de l’indicatrice des interceptes linéiques < P (θ)> [Figure 20].

                Dualité du pore équivalent elliptique A et du pore moyen C d’un réseau rectifié dans le plan B      
  Figure 20 - Dualité du pore équivalent elliptique A
et du pore moyen C d’un réseau rectifié dans le plan B
 
     

La puissance de l’inversion est normée en fonction des paramètres morphologiques de la texture et des particules. Le pore équivalent ellipsoïdal et le pore moyen, entités définies de manière différente, sont des concepts duals, ce qui justifie le qualificatif d’équivalent employé pour l’expression du premier des concepts précités.

La représentation du pore équivalent s’effectue dans un espace virtuel. Son centre est localisé nulle part ou partout dans l’ensemble physique, seule l’orientation de la figure du pore équivalent est repérée par rapport au référentiel matériel de l’ensemble. Dans un ensemble homogène, chaque partie est à l’image du tout dès lors qu’elle recouvre une étendue au minimum égale à celle du volume élémentaire représentatif de l’ensemble. Ainsi, les représentations du pore équivalent de différentes portions d’un ensemble homogène sont autosimilaires.

En conclusion de ce paragraphe, je propose une analogie pour représenter le but et la méthodologie du concept du pore équivalent. Imaginons un orchestre au cours de son installation sur la scène, face au public. Venant de différents points de l’horizon, les musiciens arrivent à la queue leu leu en formant une suite ordonnée, chacun gagnant sa place suivant la nature de son instrument, en tenant compte des contingences de l’espace sur la scène. On a, par exemple, sur la gauche de l’orchestre les cordes des violons et des altos, à la suite plus à droite les violoncelles, à l’extrême droite les contrebasses, les instruments à vent prenant place en arrière-plan, au milieu de l’orchestre et les percussions et les cymbales en position surélevée par rapport à la scène. Dans cette configuration ordonnée, l’ensemble instrumental peut résonner et réaliser à l’unisson le tutti qui permet au Maestro de conduire l’orchestre dans une exécution harmonieuse de sa partition sous les impulsions de sa baguette. C’est ainsi que l’ordonnancement des éléments dans un ensemble désordonné aléatoire permet, par la modélisation du pore équivalent, d’obtenir une réponse globale et holiste lorsqu’il est sollicité dans un champ de forces.

Bibliographie
  Théorème d’Apollonios de Perga. Exercices de géométrie, Théorème² 865, p.978, Ed. A.Mame et fils, 1907.
SILVY J. La transformation conforme du pore équivalent, méthode d’homogénéisation de la texture des milieux polyphasés. Récents Progrès en Génie des Procédés, Volume 3 - Phénomènes fondamentaux en génie des procédés - J. Bertrand, C. Gourdon, J.P. Riba, 1989, p.506-514.
     
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