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Vous êtes ici : Accueil > La technique > Consommables et papier > La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier > Un concept de caractérisation des ensembles à texture désordonnée aléatoire : le pore équivalent > Identification du pore équivalent par la stéréologie   Révision : 23 novembre 2015
 
  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

II - Un concept de caractérisation des ensembles à texture désordonnée aléatoire : le pore équivalent

II-4 - Identification du pore équivalent par la stéréologie

La stéréologie est une méthode d’analyse des objets et de leurs ensembles qui met en œuvre les lois de probabilités géométriques. Les relations stéréologiques permettent d’évaluer dans un ensemble les propriétés de paramètres qui ont une dimension n à partir de la mesure de paramètres qui ont une dimension n-1. Des propriétés linéiques peuvent ainsi être de proche en proche significatives de propriétés surfaciques voire volumiques.

Par exemple, dans un ensemble biphasique plan ou considéré comme tel, le nombre moyen d’interceptes, c'est-à-dire de points d’intersection, avec les interfaces des éléments par unité de longueur de traversée dans une direction γ que l’on dénomme nombre d’interceptes linéiques, <P (γ)> est égal à la longueur projetée des interfaces des éléments de l’ensemble sur une droite perpendiculaire à γ rapporté à l’unité de surface.

Cette propriété établit dans un réseau plan une relation entre la distribution des projections orthogonales dans une direction γ des interfaces de densité de probabilité en orientation Ψ (θ) et le nombre moyen des interceptes linéiques, d’une droite de direction γ tracée dans le réseau. Par inversion de cette relation, il est possible de connaître la distribution de la densité de probabilité en orientation des interfaces Ψ (θ) en fonction de la distribution des interceptes <P (γ)> mesurée dans le réseau.

Les fonctions analytiques, qui représentent ces distributions périodiques dans un intervalle de π radians, ne sont a priori pas connues. Aussi, on les représente par des développements en série de Fourier dont les termes sont identifiés par l’intégration par parties de la relation stéréologique précitée. Lorsque le pore équivalent de l’ensemble est une ellipse ou un ellipsoïde, figures à privilégier dans le cas des ensembles désordonnés aléatoires comme il est indiqué et vérifié dans la pratique [Cf. III et IV ci après], le pore équivalent est l’inverse géométrique de l’indicatrice des interceptes <P (γ)>. La puissance de l’inversion permet de normer cette relation en la mettant à l’échelle de l’ensemble, à partir des caractéristiques morphologiques des éléments de la texture.

                 
  Figure 19 - Feuille de papier
extrêmement mince, de grammage :
2 g/m², fibres d’alfa.
 

D’autres résultats importants pour l’étude des ensembles peuvent être obtenus par la stéréologie. Par exemple, la valeur moyenne, toutes les directions étant confondues, des interceptes linéiques des interfaces dans un réseau plan << P (γ) >> est reliée à la longueur L du contour des éléments par unité de surface suivant la formule : << P (γ) >> = 4 L/π. Cette relation permet d’évaluer la longueur surfacique L qui est une caractéristique physique importante pour l’utilisation des matériaux fibreux conformés en feuille notamment dans le cas du papier et des textiles non tissés. La valeur de L est fonction du grammage c'est-à-dire de la masse surfacique de la feuille et de sa composition fibreuse caractérisée par la masse linéique des fibres.

Il est remarquable que la mesure de << P (γ) >>, réalisée dans un réseau de lignes plan, permette d’estimer la valeur de π en tant qu’espérance mathématique. L’expérience consiste à jeter au hasard et à répétition un objet, sur un réseau de lignes tracées dans un plan et de mesurer le nombre d’interceptes du contour de cet objet avec les lignes du réseau. Cette méthode dite du "jeté d’aiguille" a été proposée par le naturaliste G. Buffon en 1777 dans son "Supplément à l’histoire naturelle de ses Essais d’arithmétique morale". Sa méthode a été mise en œuvre dans des travaux expérimentaux par les élèves-ingénieurs papetiers à l’EFPG (Grenoble INP-Pagora) en 1964, en utilisant des feuilles de papier de très faible grammage, 2g/m², suffisamment minces pour être considérées comme constituant un réseau fibreux plan. Ces feuilles ont été réalisées au laboratoire avec des fibres d’alfa fines et de forme régulière facilitant la détermination des interceptes d’avec des aiguilles jetées sur les photographies des feuilles agrandies 70 fois [Figure 19].

Les résultats de ces mesures, qui ont permis de déterminer la valeur de la constante π à la deuxième décimale près, confirment la validité des méthodes stéréologiques tant du point de vue théorique que pratique, pour l’étude de propriétés du papier et, plus généralement, des matériaux à texture fibreuse.

Dans le cas d’un ensemble en trois dimensions, un théorème de stéréologie, démontré notamment par Saltykov et Weibel, établit que le nombre moyen des interceptes linéiques des interfaces entre les phases d’une texture dans une direction, est égal à l’aire cumulée de la projection des interfaces sur un plan perpendiculaire à cette direction, par unité de volume de l’ensemble, sans tenir compte de la superposition des projections de ces surfaces24.

[24] Cette propriété est une généralisation à l’espace tridimensionnel de la relation établie en stéréologie dans le cas d’un réseau plan. Dans l’espace tridimensionnel, la direction des traversées est définie par les cosinus directeurs de la droite support des traversées.
 

En application de ce théorème, on démontre que l’aire totale des interfaces entre les phases, rapportée à l’unité de volume de la texture, appelée surface spécifique Sv est égale au double du nombre moyen des interceptes linéiques avec les interfaces de la texture, toutes les directions étant confondues, mesurées dans un échantillonnage multidirectionnel isotrope. Dans le cas d’un pore équivalent normé – c'est-à-dire dont l’aire est rapportée à l’unité de volume de la texture –, la valeur du nombre moyen des interceptes linéiques des interfaces de la texture, toutes les directions étant confondues, est donc égale à celle de la demi-aire de la surface du pore équivalent25.

[25] Ce résultat peut également être obtenu en appliquant le théorème de Gauss-Cauchy suivant lequel l’aire moyenne de la projection de la surface d’un polyèdre convexe quelconque est égale au quart de l’aire de la surface de ce polyèdre. La forme moyenne se définit à partir des interfaces accessibles dans les pores, les aires en contact entre les particules n’étant pas prises en compte.
 

Les relations stéréologiques permettent ainsi d’identifier quantitativement le pore équivalent d’un ensemble d’éléments en analysant sa texture. Les mesures des interceptes sont réalisées dans les plans de coupes minces obtenues par tomographie avec un échantillonnage isotrope, les coupes étant considérées à la limite sans épaisseur. Les valeurs moyennes des mesures des interceptes linéiques, égales aux projections sur un plan orthogonal à chacune des directions des aires des interfaces de la texture rapportées à l’unité de volume, permettent d’identifier en retour par inversion la configuration géométrique optimale qui leur correspond et qui représente le pore équivalent. Le choix d’un ellipsoïde facilite cette identification, les calculs d’optimisation ayant une convergence rapide en ce cas. La valeur moyennée des interceptes linéiques égale à la demi-surface spécifique volumique de la texture est égale à la valeur de la demi-aire de la surface de l’ellipsoïde normé. Dès lors, connaissant l’aire de l’ellipsoïde et les valeurs optimales de ses ellipticités déduites des mesures des interceptes linéiques, il est possible d’identifier par le calcul les valeurs des trois axes principaux du pore équivalent normé.

Dans le mythe de la caverne, Platon fait une analogie allégorique au sujet de la perception que nous avons des éléments et des événements qui nous environnent. Il imagine que des prisonniers sont maintenus immobiles à l’entrée d’une caverne obscure, le dos tourné vers l’extérieur et devant laquelle se déplacent des objets éclairés par les flammes d’un feu situé à l’arrière. Dans ces conditions, les prisonniers n’ont connaissance de ces objets qu’à partir de leurs ombres portées sur les parois de la caverne. C’est à quoi se ramène, selon Platon, la perception que nous avons du monde et des événements qui s’y déroulent.

Aujourd’hui, les techniques d’imagerie parmi les plus performantes mises en œuvre dans différents domaines d’analyse pour l’étude des matériaux en cristallographie ou ceux dont la texture est amorphe ainsi que les tissus cellulaires dans le domaine biologique, sont basées sur l’interprétation de leurs ombres portées par un rayonnement intrusif ou diffracté par un faisceau d’ondes électromagnétiques ou de pression. Quatre siècles avant notre ère, Platon a posé les bases de la stéréométrie en pensant la méthode mise en œuvre aujourd’hui dans les équipements qui fonctionnent en mode scanner.

Bibliographie
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