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Vous êtes ici : Accueil > La technique > Consommables et papier > La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier > Un concept de caractérisation des ensembles à texture désordonnée aléatoire : le pore équivalent > Construction du pore équivalent par une transformation conforme   Révision : 11 janvier 2016
 
  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

II - Un concept de caractérisation des ensembles à texture désordonnée aléatoire : le pore équivalent

II-3 - Construction du pore équivalent par une transformation conforme

Le concept de pore équivalent peut s’imaginer à partir d’une transformation conforme effectuée au niveau des éléments rectifiés dans la texture. Supposons un réseau fibreux plan constitué de filaments considérés comme des lignes de dimension un. Construisons une figure réalisée à partir de la translation de chacun des segments rectifiés des filaments qui, tout en conservant leur longueur et leur direction par rapport à une direction de référence, les place à la queue leu leu à partir d’un point quelconque, choisi comme origine dans le plan, en les cumulant bout à bout une fois hiérarchisés en fonction de leur direction [Figure 15].

                Pore équivalent d’un réseau plan      
  Figure 15 - Pore équivalent d’un réseau plan : enveloppe des interfaces dLө
rectifiés et hiérarchisés en fonction de leur direction et mis bout à bout à la queue leu leu
 
     

La figure obtenue à la limite par le lissage de ce contour est une courbe dont la longueur est égale à la longueur cumulée des filaments dans le réseau étudié. Cette courbe en forme de demi-boucle correspond à la moitié de la longueur des interfaces des filaments et des pores. Elle peut être refermée sur elle-même en la prolongeant d’autant par une symétrie centrale, les extrémités des segments rectifiés des filaments n’étant pas différenciées et leur orientation également répartie suivant θ et θ + π radians. La boucle ainsi construite représente à la limite de rectification près des éléments, le pore équivalent en tant qu’enveloppe des interfaces entre les filaments et les pores dans le réseau fibreux.

Cette construction du pore équivalent par une transformation conforme peut s’envisager également dans le cas d’un ensemble développé en trois dimensions après rectification de ses interfaces par des micro-plans en forme de micro-parallélogrammes. La hiérarchisation des micro-plans suivant leur orientation, pondérée par l’aire cumulée de leurs surfaces, permet théoriquement de construire de proche en proche, une surface fermée et sans bords semblable à une boule dans l’espace et dont l’aire est égale à celle de l’interface entre les phases de la texture. Cette construction est certes plus complexe à réaliser que celle effectuée dans le cas d’un ensemble plan, même si elle est envisagée par la pensée.

         
  Figure 16 - Rubik's Cube
[Wikipédia]
 

Le résultat recherché s’apparente à celui obtenu dans le jeu du cube d'Ernő Rubik dont le but est de regrouper sur chacune des faces d’un gros cube, des petits cubes unitaires avec une même couleur parmi six couleurs différentes, en les juxtaposant dans un assemblage connexe, les petits cubes étant répartis au début du jeu de manière aléatoire sur les faces du gros cube [Figure 16].

43,25200327 milliards de milliards de configurations pour le positionnement initial des petits cubes sont possibles, si l'on tient compte des contraintes mécaniques nécessaires pour assurer leur positionnement sur le gros cube : en position centrale, en coin ou intermédiaire. La réussite du jeu d'Ernő Rubik est possible par l’enchaînement d’une série de rotations des petits cubes et nécessite "pas moins de 20 mouvements dans le pire des cas... les configurations exigeant 20 mouvements étant assez rares… environ 300 millions", suivant les conclusions de Jean-Paul Delahaye, mathématicien, Professeur émérite au Laboratoire d’informatique fondamentale (CRIStAL) de l’Université de Lille qui a étudié, selon son expression, "ce numéro un de tous les casse-tête".

Dans le cas du pore équivalent d’un ensemble d’objets, comme il est envisagé ici par analogie, les interfaces élémentaires ne sont pas différenciées par leur couleur mais par leur orientation ce qui revient à envisager autant de faces dans la configuration terminale qu’il y a d’orientations possibles dans l’ensemble en comparaison de six pour le cube de Rubik dans le cas précité. Une fois effectué le regroupement des micro-surfaces, la surface du pore équivalent doit apparaître sous la forme d’un polyèdre convexe, le plus souvent non régulier et dont le nombre de faces dépend à la fois de l’ensemble et du niveau de définition de la rectification des interfaces. Bien que non limité par définition par des contraintes dues à la contiguïté des éléments, l’ordonnancement des micro-surfaces est un problème complexe qui fait appel à l’analyse combinatoire ainsi qu’à des algorithmes de calcul nécessitant des ordinateurs d’une grande capacité. Le raisonnement par analogie avec le jeu de Rubik permet permet d’imaginer par la pensée la complexité des opérations qu’il faut réaliser pour construire le pore équivalent d’un ensemble d’éléments distribués dans l’espace.

Heureusement, d’autres méthodes, notamment celles développées sur la base des relations stéréologiques, permettent de construire dans la pratique le pore équivalent d’ensembles complexes [Figures 17 & 18].

                        Pore equivalent ellipsoïdal d’un papier journal   
  Figure 17 - Papier journal, 45 g/m², en coupe transversale
[ESRF]
  Figure 18 - Pore équivalent ellipsoïdal d’un papier journal,
45 g/m² (échelle en μm)
 
         
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