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Vous êtes ici : Accueil > La technique > Consommables et papier > La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier > Un concept de caractérisation des ensembles à texture désordonnée aléatoire : le pore équivalent > Le concept du pore équivalent   Révision : 23 novembre 2015
 
  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

II - Un concept de caractérisation des ensembles à texture désordonnée aléatoire : le pore équivalent

II-2 - Le concept du pore équivalent

La répartition en orientation des interfaces des éléments rectifiés, pondérée par leur longueur ou leur aire, lorsqu’elle n’est pas évaluée de manière relative, a la dimension d’une longueur ou d’une aire rapportée à un intervalle d’angle. Cette quantité peut s’interpréter comme étant le rayon de courbure d’une figure qui enveloppe les interfaces de la texture de manière statistique et globale, en faisant abstraction des particularités géométriques dues à la contiguïté des éléments. Remarquons que la densité de probabilité en orientation définie au paragraphe précédent Ψ(θ) peut, suivant cette interprétation, être considérée comme un rayon de courbure normé par rapport au périmètre de cette figure.

Compte tenu de la réalisation de l’échantillonnage, il est possible d’évaluer le rayon de courbure dans des conditions telles que la totalité de la longueur ou de l’aire des interfaces de l’ensemble analysé soient prises en compte et de rapporter cette valeur soit à la surface soit au volume soit à la masse de l’ensemble en tenant compte de la masse surfacique ou de la masse volumique de la texture. Dans ces conditions, la dimension du rayon de courbure normé est inversement proportionnelle à une longueur ou proportionnelle à une longueur ou une surface rapportées à la masse. Ce paramètre ainsi normé représente la courbure spécifique, surfacique ou massique dans le cas d’un ensemble plan ou la courbure spécifique, volumique ou massique dans le cas d’un ensemble en trois dimensions.

La courbe ou la surface sous-tendue par le rayon de courbure délimite d’un point de vue global un espace qui est statistiquement conforme à celui des interfaces discrétisées et rectifiées dans la texture. Cette figure que j’ai dénommée le "pore équivalent" est un contour linéaire fermé dans le cas d’un ensemble plan ou une surface gauche en forme de boule simplement connexe dans le cas d’un ensemble en trois dimensions. D’un point de vue analytique, la configuration du pore équivalent est celle de la fonction primitive du rayon de courbure représentatif de la densité de probabilité en orientation pondérée des éléments20, une figure distincte de la rose des directions qui est la représentation moyennée des rayons de courbure en coordonnées polaires.

[20] Dans le cas d’un ensemble plan, l’indexation du rayon de courbure est faite en référence à la direction θ de l’élément rectifié qui est celle de la tangente à la courbe du pore équivalent. Dans le cas d’un ensemble analysé dans un espace tridimensionnel, l’indexation du rayon de courbure est faite en référence à l’orientation de la normale à la surface de l’élément, repérée par ses cosinus directeurs dans un repère d’axes orthonormés.
Le rayon de courbure des interfaces des éléments rectifiés dans un ensemble plan désordonné aléatoire vérifie une équation intégro-différentielle en fonction de la direction des éléments. Cette relation se vérifie dans le cas où le rayon de courbure est celui d’une ellipse d’où le choix qui est fait d’utiliser cette figure, d’autant qu’elle convient maintes fois dans la pratique pour représenter le pore équivalent des ensembles d’objets. [Cf. J. Silvy, "Étude structurale de milieux fibreux", thèse de doctorat, 1980, pp.92-98, équ.46- 51-56].
 

J’ai défini le concept du pore équivalent pour l’étude du papier et des textiles non tissés et, plus généralement, des matériaux fibreux dont les propriétés dépendent de la répartition en orientation des fibres qui enveloppent les pores dans leur texture21.

[21] Le concept du pore équivalent a été exposé pour la première fois lors d’une session de perfectionnement de l’IRFIP, destinée aux ingénieurs papetiers, en juillet 1968 à l’EFP (Grenoble INP-Pagora) puis lors de la Conférence Internationale de Physique Papetière, en 1971 à Mont Gabriel Lodge, Québec (Canada). Plusieurs versions en différentes langues ont été faites à la suite de la présentation de ce concept en 1980 dans la thèse d’état de J. Silvy.
Une version intégrale a été publiée, en espagnol en 1986 par F. Astals, Professeur à l’Universitat Politècnica de Catalunya, Terrassa, dans la Monografia n°6 de Fisica del Papel (103 pages).
J. Grolier, A. Fernandez, M. Hucher, J. Riss ont présenté ce concept dans "Les propriétés physiques des roches, Théorie et modèles" Le concept du pore équivalent, (Silvy, 1980,1985), pp.114-116, Masson Ed., ISBN : 2-225-82306-5,1990.
C. Schaffnit, J. Silvy, K.J. Dodson ont développé le concept du pore équivalent en anglais dans Nordic Pulp and Paper Research Journal, n°3, 1992, pp.121-125.
Une présentation du concept du pore équivalent est faite dans l’ouvrage "Handbook of physical and mechanical testing of paper and paperboard" vol.2, pp.306-310, Marcel Dekker Inc., New York, édité en 1984 par Richard E. Mark, Senior Research Associate à l’Empire State Paper Research Institute (ESPRI) de Syracuse.
 

L’appellation "pore équivalent" se justifie du fait que, dans un milieu poreux, la configuration géométrique du pore équivalent lorsqu’il a une forme elliptique ou ellipsoïdale est semblable à celle du pore moyen défini selon l’usage par la valeur des cordes moyennes évaluées dans les différentes directions dans les pores entre les interfaces de la texture. Ainsi, le pore équivalent et le pore moyen sont des concepts duals22 [Figure 10] [Cf. II-5 ci-après].

[22] Deux concepts sont dits dual lorsqu’une expérience physique menée dans le cadre du premier concept fournit des résultats indistinguables de ceux obtenus en travaillant dans le cadre du deuxième concept. La dualité s’applique dans le cas du pore moyen et du pore équivalent lorsque celui-ci est de forme ellipsoïdale.
 
                Dualité du pore équivalent elliptique A et du pore moyen C d’un réseau rectifié dans le plan B      
  Figure 10 - Dualité du pore équivalent elliptique A
et du pore moyen C d’un réseau rectifié dans le plan B
 
     

Le pore équivalent est parfois dénommé "surface conforme équivalente" ou "profil équivalent conforme", appellations dérivées de celle de pore équivalent et mieux adaptées pour caractériser les états de surface des matériaux. Dans les analyses pétrographiques où l’on cherche à caractériser la forme moyenne des grains minéraux qui constituent les sols, on définit leur forme équivalente suivant un concept différent mais relativement proche de celui du pore équivalent.

Le pore équivalent est un hologramme à la fois au sens étymologique et physique du terme. Les racines grecques de ce mot sont "olos" qui signifie l’ensemble et "gramma" qui signifie l’épitaphe. Le pore équivalent représente en effet d’un point de vue global la configuration géométrique relative des éléments dans un ensemble. Son contour linéaire de dimension un ou sa surface de dimension deux permettent la résolution de problèmes qui se posent dans des espaces de dimension supérieure, dans un plan ou dans un volume. Cette propriété, qui est une caractéristique des hologrammes, justifie le qualificatif d’équivalent dans l’expression "pore équivalent"23.

[23] La figure de diffraction d’un faisceau laser qui impacte le contour du pore équivalent imprimé sur une feuille transparente de polymère est identique à celle obtenue par l’impact du faisceau laser qui recouvre une réplique transparente de la surface de la texture analysée dans un plan, dans les mêmes conditions qu’un réseau gravé sur un plan transparent diffracte en transmission un faisceau de lumière [Cf. chapitres 4 et 5 de la thèse de Mario José Peirera, "Reconhecimento do padrâo optico da estructura da folha de papel", Universidade da Beira Interior, 2002].
La projection du pore équivalent sur un plan dans une direction est semblable à celle de la tache de lumière diffusée, observée à la limite de perception dans un plan, par un faisceau laser qui impacte le papier sur ses faces externes ou sur la tranche d’un empilement de feuilles.
Ces propriétés de diffraction et de diffusion multiple de la lumière sont mises en œuvre pour le contrôle de la répartition des fibres à la surface et à l’intérieur des feuilles de papier ainsi que des textiles non tissés [Figures 11, 12, 13 & 14].
 
                       
  Figure 11 - Formation de la feuille d’un papier d’impression
à base de pâte de paille et de plantes annuelles,
vitesse de production de la machine : 850 m/mn.
Machine à papier du Groupe Trident au Punjab (Inde).
Concepteur et constructeur : Allimand à Rives (France).
  Figure 12 - Diffusion par transmission d’un faisceau
laser de section 0,2 mm, impactant une feuille
de papier d’emballage, mesure en continu sur
machine à papier par le procédé Lippke.
L’élongation de l’image est la plus marquée
dans la direction du maximum d’orientation des fibres.
 
         
                       
  Figure 13 - 1, Image en microscopie électronique
de la surface d’un non tissé spunbond.
2, Réplique de la surface du non tissé
sur un film transparent de polymère thermoplastique
  Figure 14 - Image de diffraction par transmission
d’un faisceau laser de section 10 mm, impactant
la réplique transparente de la surface d’un non tissé
spunbound. L’élongation de l’image est la plus marquée
perpendiculairement à la direction du maximum
d’orientation des fibres.
 
         
Bibliographie
SILVY J. The equivalent pore : a new representation of the structure of paper for the study of its physical and rheological properties. International Paper Physics Conference, Canadian Pulp and Paper Association and Technical association of the Pulp and Paper Industry, short proceedings, pp.49-51, Mont Gabriel, P.Q. Canada, Sept 20-23, 1971.
SILVY J. Étude structurale de milieux fibreux : cas des fibres cellulosiques. Thèse de doctorat d’état, 1980, Université scientifique et médicale et Institut Polytechnique de Grenoble, Chap. II, La modélisation des structures fibreuses, pp.76-167.
SILVY J., ASTALS F. Modelizacion de la estructura de la hoja. Monografia N°6 de Fisica del Papel, E.T.S.I.I.T, Universitat Politecnica de Catalunya, ISBN : 84-600-4440-8, 1986.
SCHAFFNIT C., SILVY J., DODSON K.J. Orientation density distributions of fibres in paper. Nordic Pulp and Paper Research Journal, n°3, 1992, pp.121-125.
MARK R.E. Handbook of physical and mechanical testing of paper and paper board. New York : Marcel Dekker, 1984. Vol 2, pp.306-310.
HOLMSTADT R., ANTOINE C., SILVY J., COSTA A.P., ANTOINE J. Modelling the paper sheet structure according to the equivalent pore concept. Cost action E 11, Characterisation methods for fibres and paper - Research techniques for tomorow’s papermaking, Hanasaari, Espoo, Finland, Oct. 4-5, 2001.
     
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Mise en page : A. Pandolfi