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  La secrète harmonie du désordre aléatoire
dévoilée dans la feuille de papier
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Essai sur une forme d'espace moteur en milieu stochastique    
Jacques Silvy, Professeur Honoraire des Universités
(Novembre 2015)

II - Un concept de caractérisation des ensembles à texture désordonnée aléatoire : le pore équivalent

II-1 - Homogénéisation de la courbure spatiale dans les ensembles à texture désordonnée aléatoire

Comme nous l’avons remarqué plus haut, s’il est possible de décrire par des lois déterministes le comportement d’un ensemble d’éléments dont la texture est ordonnée comme c’est le cas par exemple pour un matériau cristallin, les mêmes raisonnements ne sont pas applicables dans le cas d’un ensemble désordonné dans lequel la position des éléments résulte de processus où intervient le hasard. L’étude de l’assemblage des éléments dans ce type d’ensemble s’effectue par l’évaluation statistique de paramètres choisis pour caractériser sa structure. Ces paramètres sont définis par leur valeur moyenne associée à leur variance dans l’étendue d’un domaine considéré comme homogène, en mesure de représenter l’ensemble avec un certain degré de confiance. L’étendue de ce domaine élémentaire représentatif est fonction des sollicitations auxquelles l’ensemble est soumis.

Dans la plupart des méthodes d’analyse du comportement des ensembles désordonnés, par exemple par les méthodes dites d’homogénéisation, des opérateurs mathématiques sont appliqués dans le champ d’analyse défini à grande échelle auxquels sont affectées les valeurs de paramètres qui caractérisent l’ensemble analysé à petite échelle dans le domaine élémentaire représentatif. Les hypothèses de calcul sont ensuite validées après ajustement des valeurs de ces paramètres, compte tenu de la réponse physique de l’ensemble à grande échelle. Les méthodes d’homogénéisation sont utilisées avec succès dans différentes technologies et permettent d’importantes applications dans la pratique. Cependant, compte tenu de l’effet des moyennes répétées aux différents niveaux d’analyse, les méthodes d’homogénéisation masquent la traçabilité de la réponse émergeante de l’ensemble, ce qui rend difficile l’interprétation physique des phénomènes. Par une approche différente, basée sur la configuration géométrique de l’ensemble, il est possible de formuler une représentation homogénéisée adaptée à l’étude d’un ensemble et à son comportement dans des champs de contraintes de natures diverses.

Envisageons par exemple un matériau polyphasé dont on étudie le comportement lorsqu’il est sollicité dans un champ de forces. Une propriété des plus significatives pour cette étude, conjointement à la nature des éléments qui composent le matériau, est celle de la géométrie de l’interface entre les phases : celle des pores et des fibres par exemple dans une feuille de papier ou des grains dans un matériau tel qu’un alliage métallique ou dans un sol tel un grès. En dehors des points singuliers anguleux, on peut caractériser la géométrie de cette interface en la rectifiant à la limite de résolution près par des éléments rectilignes dLθ ou des micro-surfaces planes sous la forme de micro-parallélogrammes, suivant que la structure est développée dans un plan ou en trois dimensions. L’orientation des éléments rectifiés est repérée en orientant leur normale vers une même phase, par exemple celle des pores dans le cas d’un milieu poreux.

Les interfaces échantillonnées au hasard dans l’ensemble, sont regroupées en fonction de leur orientation θ dans un même intervalle angulaire en cumulant leur longueur ou leur aire, sans tenir compte des caractéristiques de contiguïté des éléments rectifiés dans la texture. L’échantillonnage est répété dans le champ d’analyse et les résultats sont comparés à l’intérieur de chaque intervalle angulaire, en cumulant chaque fois les nouvelles valeurs d’avec les précédentes et en les rapportant à la totalité des valeurs des éléments décomptées, toutes les orientations étant confondues, ceci jusqu’à l’obtention d’une répartition considérée comme stationnaire à la précision des mesures près. La courbe ou la surface gauche obtenue à la limite par lissage de cette répartition représente la densité de la probabilité en orientation des interfaces pondérée en longueur Ψ(θ) ou en surface, des quantités qui sont sans dimension. Dans le cas de structures planes ou analysées sur des coupes ou des tranches fines, des expressions algébriques polynomiales conviennent, avec un ou deux paramètres d’ajustement, pour représenter Ψ(θ) en fonction de l’orientation des interfaces des éléments dans la texture, ce qui facilite les comparaisons entre les matériaux [Cf. III-2 ci-après].

La représentation de la densité de probabilité en orientation des interfaces s’effectue dans un système de coordonnées cartésiennes ou polaires mettant en évidence les anisotropies éventuelles des matériaux en fonction de l’orientation. Dans un réseau fibreux plan, chaque élément d’une fibre rectifiée jouxte deux pores adjacents de part et d’autre de l’élément, délimitant ainsi deux interfaces qui ont la même direction mais dont l’orientation est opposée. La densité de probabilité en orientation des interfaces Ψ(θ) est donc périodique, ses valeurs se reproduisant à un intervalle de π radians. En représentation polaire, la courbe indicatrice de Ψ(θ) est centrosymétrique. De manière générale, les ensembles désordonnés aléatoires homogènes sont centrosymétriques. À chaque interface qui structure l’ensemble suivant une orientation correspond une interface suivant la même direction mais d’orientation opposée. La courbe indicatrice de la densité de probabilité en orientation Ψ(θ) représentée en coordonnées polaires est parfois dénommée "rose des directions". Cette figure, à l’exception des ensembles isotropes, n’a pas de similitude de forme avec une figure qui pourrait être détectée par un examen visuel de la texture voire imaginée, contrairement à la configuration du pore équivalent qui est définie ci-après.

Bibliographie
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POINCARÉ H. La science et l’hypothèse. Chap IV - L’espace et la géométrie…la loi d’homogénéité d’un ensemble.  Paris : Flammarion, 1968, pp. 77-94
  Homogenization techniques for composite media. International Center for Mechanical Sciences, ouvrage collectif, Lecture notes in Physics, vol, 272, Springer, Berlin 1987.
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AURIAULT J.L. Homogénéisation des structures périodiques. Séminaire de l’Institut de Mécanique de Grenoble, U.S.M.G., St Martin d’Hères, France, 6 Décembre 1983.
GROLIER J., HUCHER M., POULIQUEN J.M., RISS J., LAVEAU M. Homogénéisation par la méthode des formes moyennes équivalentes dans le milieu biphasé. Revue de Physique Appliquée, 1989, 24 (6), pp.627-642
     
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